Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài tập 3 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo.
Chúng tôi cam kết cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và giúp bạn nắm vững kiến thức Toán học.
Tính các tích phân sau: a) \(\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)dx} \) b) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{x}dx} \) c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\sin x - 2} \right)dx} \) d) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} \)
Đề bài
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)dx} \)
b) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{x}dx} \)
c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\sin x - 2} \right)dx} \)
d) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất tích phân của một tổng, một hiệu để đưa về tính các tích phân đơn giản.
Lời giải chi tiết
a) \(\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^4 {\left( {{x^2} - 1} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - x} \right)} \right|_{ - 2}^4 = \left( {\frac{{{4^3}}}{3} - 4} \right) - \left( {\frac{{{{\left( { - 2} \right)}^3}}}{3} - \left( { - 2} \right)} \right) = 18\)
b) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {x - 2 + \frac{1}{x}} \right)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2x + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2} \)
\( = \left( {\frac{{2{\rm{^2}}}}{2} - 2.2 + \ln \left| 2 \right|} \right) - \left( {\frac{{1{\rm{^2}}}}{2} - 1.2 + \ln \left| 1 \right|} \right) = \ln 2 - \frac{1}{2}\)
c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\sin x - 2} \right)dx} = 3\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx} = 3\left. {\left( { - \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - 2\left. {\left( x \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\)
\( = 3\left[ {\left( { - \cos \frac{\pi }{2}} \right) - \left( { - \cos 0} \right)} \right] - 2\left( {\frac{\pi }{2} - 0} \right) = 3 - \pi \)
d) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)}}{{1 + \cos x}}dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos x} \right)dx} } \)
\( = \left. {\left( {x - \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \left( {\frac{\pi }{2} - \sin \frac{\pi }{2}} \right) - \left( {0 - \sin 0} \right) = \frac{\pi }{2} - 1\)
Bài tập 3 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là vô cùng quan trọng, không chỉ cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn là nền tảng cho các môn học khác ở bậc đại học.
Bài tập 3 thường xoay quanh việc tính đạo hàm của các hàm số đơn giản, các hàm số hợp, và áp dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số. Cụ thể, bài tập có thể yêu cầu:
Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, bạn cần nắm vững các công thức và quy tắc đạo hàm cơ bản. Dưới đây là một số phương pháp thường được sử dụng:
Bài giải 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1.
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số đa thức, ta có:
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
Bài giải 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = sin(2x + 1).
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có:
y' = cos(2x + 1) * (2x + 1)' = 2cos(2x + 1)
Bài giải 3: Xác định các điểm cực trị của hàm số g(x) = x^4 - 4x^2 + 3.
Tính đạo hàm của g(x):
g'(x) = 4x^3 - 8x
Giải phương trình g'(x) = 0:
4x^3 - 8x = 0
4x(x^2 - 2) = 0
Suy ra x = 0, x = √2, x = -√2
Xét dấu đạo hàm g'(x) để xác định loại cực trị:
Vậy hàm số g(x) có cực đại tại x = -√2 và x = √2, cực tiểu tại x = 0.
Khi giải bài tập về đạo hàm, bạn cần chú ý một số điều sau:
Bài tập 3 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ giải quyết bài tập một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
