Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tại giaibaitoan.com. Chúng tôi xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 3 trang 35, 36, 37, 38 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi cam kết cung cấp những bài giải chính xác, logic, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng (left( alpha right)) đi qua điểm ({M_0}left( {1;2;3} right)) và nhận (vec n = left( {7;5;2} right)) làm vectơ pháp tuyến. Gọi (Mleft( {x;y;z} right)) là một điểm tuỳ ý trong không gian. Tính tích vô hướng (vec n.overrightarrow {{M_0}M} ) theo (x,y,z).
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 36 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) có phương trình tổng quát là \(\left( \alpha \right):2x + 2y - 3z - 4 = 0\) và \(\left( \beta \right):x + 4z - 12 = 0\).
a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\).
b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) trong số các điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\), \(N\left( {1;1;0} \right)\).
Phương pháp giải:
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó \(A\), \(B\), \(C\) không đồng thời bằng 0) là \(\vec n = \left( {A,B,C} \right)\).
b) Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\) khi và chỉ khi \(A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(2x + 2y - 3z - 4 = 0\) nên \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {2;2; - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) là \(x + 4z - 12 = 0\) nên \(\left( \beta \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} = \left( {1;0;4} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Thay điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta được:
\(2.1 + 2.0 - 3.1 - 4 = - 5 \ne 0\).
Vậy điểm \(M\) không thuộc \(\left( \alpha \right)\).
Thay điểm \(N\left( {1;1;0} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta được:
\(2.1 + 2.1 - 3.0 - 4 = 0\).
Vậy điểm \(N\) thuộc \(\left( \alpha \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 36 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A,B,C} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Gọi \(M\left( {x,y,z} \right)\) là một điểm tuỳ ý trong không gian.
a) Tìm toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \).
b) Tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).
c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {{x_M} - {x_{{M_0}}};{y_M} - {y_{{M_0}}};{z_M} - {z_{{M_0}}}} \right)\)
b) Sử dụng công thức tích vô hướng để tính \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).
c) Để lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) được chọn phải nằm trên \(\left( \alpha \right)\), điều này có nghĩa là \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {{x_M} - {x_{{M_0}}};{y_M} - {y_{{M_0}}};{z_M} - {z_{{M_0}}}} \right) = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\)
b) Ta có: \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right)\)
c) Để lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) được chọn phải nằm trên \(\left( \alpha \right)\), điều này có nghĩa là \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = 0\).
Suy ra \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 36 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {0,2,1} \right)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;3;1} \right)\), \(\vec b = \left( {2;0;1} \right)\)
a) Tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
b) Lập phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Do \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\vec a\) và \(\vec b\) làm một cặp vectơ chỉ phương, nên \(\left( \alpha \right)\) sẽ nhận vectơ \(\vec n = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là .
Lời giải chi tiết:
a) Do \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\vec a\) và \(\vec b\) làm một cặp vectơ chỉ phương, nên \(\left( \alpha \right)\) sẽ nhận vectơ \(\vec n = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
Tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là:
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {3.1 - 1.0;1.2 - 1.1;1.0 - 3.2} \right) = \left( {3;1; - 6} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\vec n = \left( {3;1; - 6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {0,2,1} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {3;1; - 6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến, nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\(3\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 2} \right) - 6\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 6z + 4 = 0\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 37 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\), \(B\left( {2;4;3} \right)\), \(C\left( {5;3;1} \right)\).
a) Tìm toạ độ một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
b) Tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
c) Lập phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
b) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
c) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\), \(B\left( {2;4;3} \right)\), \(C\left( {5;3;1} \right)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {5;2;0} \right)\).
b) Do \(\left( \alpha \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {5;2;0} \right)\), nên một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là:
\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3.0 - 2.2;2.5 - 2.0;2.2 - 3.5} \right) = \left( { - 4;10; - 11} \right)\).
c) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( { - 4;10; - 11} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\( - 4\left( {x - 0} \right) + 10\left( {y - 1} \right) - 11\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - 4x + 10y - 11z + 1 = 0\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 38 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {5; - 2;7} \right)\).
b) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(B\left( { - 2;3;0} \right)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2;2; - 1} \right)\), \(\vec v = \left( {3;1;0} \right)\).
c) \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\), \(B\left( {3;2;7} \right)\), \(C\left( {4;1;6} \right)\).
d) \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {7;0;0} \right)\), \(N\left( {0; - 2;0} \right)\), \(P\left( {0;0;9} \right)\).
Phương pháp giải:
a) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right]\). Sau đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi biết một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến.
c) Xác định một cặp vectơ chỉ phương, từ đó tính tích có hướng của cặp vectơ chỉ phương đó để tìm một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\). Sau đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi biết một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến.
d) Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {5; - 2;7} \right)\) nên có phương trình là \(5\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 0} \right) + 7\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 2y + 7z - 3 = 0\).
b) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là:
\(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {2.0 - \left( { - 1} \right).1; - 1.3 - 2.0;2.1 - 2.3} \right) = \left( {1; - 3; - 4} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(B\left( { - 2;3;0} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1; - 3; - 4} \right)\) nên có phương trình là \(1\left( {x + 2} \right) - 3\left( {y - 3} \right) - 4\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 11 = 0\).
c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\), \(B\left( {3;2;7} \right)\), \(C\left( {4;1;6} \right)\) nên có 1 cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {2;0;1} \right)\). Do đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1.1 - 2.0;2.2 - 1.1;1.0 - 1.2} \right) = \left( {1;3; - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {2;1;5} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;3; - 2} \right)\) nên có phương trình là \(1\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 2z + 5 = 0\).
d) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {7;0;0} \right)\), \(N\left( {0; - 2;0} \right)\), \(P\left( {0;0;9} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\frac{x}{7} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{9} = 1\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 38 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lăng trụ \(OAB.O'A'B'\). Biết \(O\) là gốc toạ độ, \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;3;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;5} \right)\). Viết phương trình các mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) và \(\left( {O'A'B'} \right)\).
Phương pháp giải:
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) dưới dạng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) do nó đi qua điểm \(O'\) và có một vectơ pháp tuyến \(OO'\).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) đi qua \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;3;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;5} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1\).
Theo hình vẽ, hình lăng trụ \(OAB.O'A'B'\) có các cạnh bên vuông góc với đáy, nên ta có \(OO' \bot \left( {O'A'B'} \right)\). Suy ra \[\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;5} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\).
Hơn nữa, mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) đi qua \(O'\left( {0;0;5} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) là \(0\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 5\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow z - 5 = 0\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 35 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {1;2;3} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {7;5;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) là một điểm tuỳ ý trong không gian. Tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \) theo \(x,y,z\).
Phương pháp giải:
Tính toạ độ vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \), sau đó tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).
Lời giải chi tiết:
Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {x - 1;y - 2;z - 3} \right)\)
Suy ra \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = 7\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 3} \right) = 7x + 5y + 2z - 23\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 35 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {1;2;3} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {7;5;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) là một điểm tuỳ ý trong không gian. Tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \) theo \(x,y,z\).
Phương pháp giải:
Tính toạ độ vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \), sau đó tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).
Lời giải chi tiết:
Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {x - 1;y - 2;z - 3} \right)\)
Suy ra \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = 7\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 3} \right) = 7x + 5y + 2z - 23\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 36 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) có phương trình tổng quát là \(\left( \alpha \right):2x + 2y - 3z - 4 = 0\) và \(\left( \beta \right):x + 4z - 12 = 0\).
a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\).
b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) trong số các điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\), \(N\left( {1;1;0} \right)\).
Phương pháp giải:
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó \(A\), \(B\), \(C\) không đồng thời bằng 0) là \(\vec n = \left( {A,B,C} \right)\).
b) Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\) khi và chỉ khi \(A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(2x + 2y - 3z - 4 = 0\) nên \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {2;2; - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) là \(x + 4z - 12 = 0\) nên \(\left( \beta \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} = \left( {1;0;4} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Thay điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta được:
\(2.1 + 2.0 - 3.1 - 4 = - 5 \ne 0\).
Vậy điểm \(M\) không thuộc \(\left( \alpha \right)\).
Thay điểm \(N\left( {1;1;0} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta được:
\(2.1 + 2.1 - 3.0 - 4 = 0\).
Vậy điểm \(N\) thuộc \(\left( \alpha \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 36 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A,B,C} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Gọi \(M\left( {x,y,z} \right)\) là một điểm tuỳ ý trong không gian.
a) Tìm toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \).
b) Tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).
c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {{x_M} - {x_{{M_0}}};{y_M} - {y_{{M_0}}};{z_M} - {z_{{M_0}}}} \right)\)
b) Sử dụng công thức tích vô hướng để tính \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).
c) Để lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) được chọn phải nằm trên \(\left( \alpha \right)\), điều này có nghĩa là \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {{x_M} - {x_{{M_0}}};{y_M} - {y_{{M_0}}};{z_M} - {z_{{M_0}}}} \right) = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\)
b) Ta có: \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right)\)
c) Để lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) được chọn phải nằm trên \(\left( \alpha \right)\), điều này có nghĩa là \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = 0\).
Suy ra \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 36 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {0,2,1} \right)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;3;1} \right)\), \(\vec b = \left( {2;0;1} \right)\)
a) Tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
b) Lập phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Do \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\vec a\) và \(\vec b\) làm một cặp vectơ chỉ phương, nên \(\left( \alpha \right)\) sẽ nhận vectơ \(\vec n = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là .
Lời giải chi tiết:
a) Do \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\vec a\) và \(\vec b\) làm một cặp vectơ chỉ phương, nên \(\left( \alpha \right)\) sẽ nhận vectơ \(\vec n = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
Tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là:
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {3.1 - 1.0;1.2 - 1.1;1.0 - 3.2} \right) = \left( {3;1; - 6} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\vec n = \left( {3;1; - 6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {0,2,1} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {3;1; - 6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến, nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\(3\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 2} \right) - 6\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 6z + 4 = 0\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 37 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\), \(B\left( {2;4;3} \right)\), \(C\left( {5;3;1} \right)\).
a) Tìm toạ độ một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
b) Tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
c) Lập phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
b) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
c) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\), \(B\left( {2;4;3} \right)\), \(C\left( {5;3;1} \right)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {5;2;0} \right)\).
b) Do \(\left( \alpha \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {5;2;0} \right)\), nên một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là:
\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3.0 - 2.2;2.5 - 2.0;2.2 - 3.5} \right) = \left( { - 4;10; - 11} \right)\).
c) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( { - 4;10; - 11} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\( - 4\left( {x - 0} \right) + 10\left( {y - 1} \right) - 11\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - 4x + 10y - 11z + 1 = 0\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 38 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {5; - 2;7} \right)\).
b) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(B\left( { - 2;3;0} \right)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2;2; - 1} \right)\), \(\vec v = \left( {3;1;0} \right)\).
c) \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\), \(B\left( {3;2;7} \right)\), \(C\left( {4;1;6} \right)\).
d) \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {7;0;0} \right)\), \(N\left( {0; - 2;0} \right)\), \(P\left( {0;0;9} \right)\).
Phương pháp giải:
a) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right]\). Sau đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi biết một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến.
c) Xác định một cặp vectơ chỉ phương, từ đó tính tích có hướng của cặp vectơ chỉ phương đó để tìm một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\). Sau đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi biết một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến.
d) Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {5; - 2;7} \right)\) nên có phương trình là \(5\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 0} \right) + 7\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 2y + 7z - 3 = 0\).
b) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là:
\(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {2.0 - \left( { - 1} \right).1; - 1.3 - 2.0;2.1 - 2.3} \right) = \left( {1; - 3; - 4} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(B\left( { - 2;3;0} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1; - 3; - 4} \right)\) nên có phương trình là \(1\left( {x + 2} \right) - 3\left( {y - 3} \right) - 4\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 11 = 0\).
c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\), \(B\left( {3;2;7} \right)\), \(C\left( {4;1;6} \right)\) nên có 1 cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {2;0;1} \right)\). Do đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1.1 - 2.0;2.2 - 1.1;1.0 - 1.2} \right) = \left( {1;3; - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {2;1;5} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;3; - 2} \right)\) nên có phương trình là \(1\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 2z + 5 = 0\).
d) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {7;0;0} \right)\), \(N\left( {0; - 2;0} \right)\), \(P\left( {0;0;9} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\frac{x}{7} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{9} = 1\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 38 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lăng trụ \(OAB.O'A'B'\). Biết \(O\) là gốc toạ độ, \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;3;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;5} \right)\). Viết phương trình các mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) và \(\left( {O'A'B'} \right)\).
Phương pháp giải:
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) dưới dạng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) do nó đi qua điểm \(O'\) và có một vectơ pháp tuyến \(OO'\).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) đi qua \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;3;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;5} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1\).
Theo hình vẽ, hình lăng trụ \(OAB.O'A'B'\) có các cạnh bên vuông góc với đáy, nên ta có \(OO' \bot \left( {O'A'B'} \right)\). Suy ra \[\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;5} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\).
Hơn nữa, mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) đi qua \(O'\left( {0;0;5} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) là \(0\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 5\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow z - 5 = 0\).
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết hiệu quả các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững kiến thức lý thuyết, các định nghĩa, định lý và công thức liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập trang 35, 36, 37, 38, đồng thời phân tích các phương pháp giải và những điểm cần lưu ý.
Bài 1: (Nội dung bài tập 1 - giải chi tiết từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng về phương pháp sử dụng). Ví dụ: Bài tập yêu cầu tính đạo hàm của hàm số. Lời giải sẽ trình bày các bước áp dụng quy tắc đạo hàm, đơn giản hóa biểu thức và đưa ra kết quả cuối cùng.
Bài 2: (Nội dung bài tập 2 - giải chi tiết từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng về phương pháp sử dụng). Ví dụ: Bài tập yêu cầu tìm cực trị của hàm số. Lời giải sẽ trình bày các bước tìm đạo hàm, giải phương trình đạo hàm bằng 0, xét dấu đạo hàm và kết luận về cực trị.
Bài 3: (Nội dung bài tập 3 - giải chi tiết từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng về phương pháp sử dụng). Ví dụ: Bài tập yêu cầu khảo sát hàm số. Lời giải sẽ trình bày các bước xác định tập xác định, giới hạn, đạo hàm, cực trị, điểm uốn và vẽ đồ thị hàm số.
Bài 4: (Nội dung bài tập 4 - giải chi tiết từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng về phương pháp sử dụng). Ví dụ: Bài tập yêu cầu giải phương trình mũ. Lời giải sẽ trình bày các bước biến đổi phương trình, sử dụng logarit để giải phương trình và kiểm tra nghiệm.
Bài 5: (Nội dung bài tập 5 - giải chi tiết từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng về phương pháp sử dụng). Ví dụ: Bài tập yêu cầu giải phương trình logarit. Lời giải sẽ trình bày các bước biến đổi phương trình, sử dụng tính chất của logarit để giải phương trình và kiểm tra nghiệm.
Bài 6: (Nội dung bài tập 6 - giải chi tiết từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng về phương pháp sử dụng). Ví dụ: Bài tập yêu cầu giải bất phương trình mũ. Lời giải sẽ trình bày các bước biến đổi bất phương trình, sử dụng logarit để giải bất phương trình và xác định tập nghiệm.
Bài 7: (Nội dung bài tập 7 - giải chi tiết từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng về phương pháp sử dụng). Ví dụ: Bài tập yêu cầu giải bất phương trình logarit. Lời giải sẽ trình bày các bước biến đổi bất phương trình, sử dụng tính chất của logarit để giải bất phương trình và xác định tập nghiệm.
Bài 8: (Nội dung bài tập 8 - giải chi tiết từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng về phương pháp sử dụng). Ví dụ: Bài tập yêu cầu ứng dụng đạo hàm để giải quyết bài toán thực tế. Lời giải sẽ trình bày các bước xây dựng mô hình toán học, sử dụng đạo hàm để tìm giá trị tối ưu và giải thích kết quả.
Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết các bài tập trong mục 3 trang 35, 36, 37, 38 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
