Bài 2. Toạ độ của vectơ trong không gian

Bài 2. Toạ độ của vectơ trong không gian - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

1. Giới thiệu chung

Trong không gian Oxyz, mỗi điểm M được xác định duy nhất bởi bộ ba số thực (x; y; z), gọi là toạ độ của điểm M. Tương tự, mỗi vectơ \overrightarrow{a} cũng có thể được biểu diễn bằng bộ ba số thực (ax; ay; az), gọi là toạ độ của vectơ \overrightarrow{a}.

2. Biểu diễn vectơ qua toạ độ

Cho hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB). Vectơ \overrightarrow{AB} có toạ độ là:

\overrightarrow{AB} = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

3. Các phép toán trên vectơ biểu diễn bằng toạ độ

a. Phép cộng vectơ

Cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (ax; ay; az) và \overrightarrow{b} = (bx; by; bz). Vectơ tổng \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} có toạ độ là:

\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (ax + bx; ay + by; az + bz)

b. Phép trừ vectơ

Cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (ax; ay; az) và \overrightarrow{b} = (bx; by; bz). Vectơ hiệu \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} có toạ độ là:

\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (ax - bx; ay - by; az - bz)

c. Phép nhân vectơ với một số thực

Cho vectơ \overrightarrow{a} = (ax; ay; az) và số thực k. Vectơ k\overrightarrow{a} có toạ độ là:

k\overrightarrow{a} = (kax; kay; kaz)

4. Tính chất của phép toán vectơ

• Tính giao hoán: \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}

• Tính kết hợp: (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})

• Phần tử đơn vị: \overrightarrow{a} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{a}

• Phần tử đối: \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{0}

• Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng: k(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}

• Tính chất phân phối của phép nhân: (k + l)\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{a}

• Tính chất kết hợp của phép nhân: (kl)\overrightarrow{a} = k(l\overrightarrow{a})

5. Ví dụ minh họa

Cho A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6). Tìm toạ độ của vectơ \overrightarrow{AB}.

Giải:

\overrightarrow{AB} = (4 - 1; 5 - 2; 6 - 3) = (3; 3; 3)

6. Bài tập áp dụng

1. Cho A(2; -1; 0) và B(4; 3; -2). Tìm toạ độ của vectơ \overrightarrow{AB}.

2. Cho \overrightarrow{a} = (1; -2; 3) và \overrightarrow{b} = (0; 1; -1). Tính \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} và 2\overrightarrow{a}.

7. Kết luận

Bài học về toạ độ của vectơ trong không gian là nền tảng quan trọng để hiểu và giải quyết các bài toán hình học trong không gian. Hy vọng rằng, với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, các em đã nắm vững được những khái niệm cơ bản và có thể áp dụng chúng vào việc giải quyết các bài tập một cách hiệu quả.