Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Tọa độ của Vectơ trong Không Gian, chương trình Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo tại giaibaitoan.com. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng và các công thức quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ trong không gian.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách xác định tọa độ của vectơ, các phép toán trên vectơ biểu diễn bằng tọa độ, và ứng dụng của lý thuyết này trong việc giải các bài toán hình học không gian.
Bài 2. Tọa độ của vecto trong không gian 1. Hệ trục tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
| Trong không gian, cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là ba vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz. |
2. Tọa độ của điểm và vecto
a) Tọa độ của điểm
| Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Nếu \[\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \] thì ta gọi bộ ba số (x;y;z) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M = (x;y;z) hoặc M (x;y;z); x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M. |
b) Tọa độ của vecto
| Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a \). Nếu \(\overrightarrow a = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k \) thì ta gọi bộ ba số \(\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz và viết \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\). |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)
a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} .\)
b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’.
Lời giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\).
b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x - 3; y - 2; z - 5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} .\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4.
Vậy B’(7;2;4).
Lập luận tương tự suy ra C’ (11;-3;8).
Trong chương trình Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo, phần Lý thuyết Tọa độ của Vectơ trong Không Gian đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng kiến thức về hình học không gian. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, các công thức và phương pháp giải bài tập liên quan.
Để xác định vị trí của một điểm trong không gian, ta sử dụng hệ tọa độ Descartes ba chiều (Oxyz). Hệ tọa độ này bao gồm ba trục vuông góc nhau: trục Ox, trục Oy và trục Oz. Mỗi điểm trong không gian được xác định bởi bộ ba số thực (x, y, z), gọi là tọa độ của điểm đó.
Một vectơ trong không gian được xác định bởi độ dài và hướng. Vectơ có thể được biểu diễn bằng một đoạn thẳng có hướng, hoặc bằng bộ ba số thực (x, y, z), gọi là tọa độ của vectơ. Vectơ a = (x, y, z) có điểm đầu A(xA, yA, zA) và điểm cuối B(xB, yB, zB) thì a = (xB - xA, yB - yA, zB - zA).
Trong không gian, ta có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ vectơ và phép nhân vectơ với một số thực. Các phép toán này được thực hiện theo các quy tắc sau:
Tích vô hướng của hai vectơ a = (xa, ya, za) và b = (xb, yb, zb) được tính bằng công thức:
a ⋅ b = xaxb + yayb + zazb
Tích vô hướng có nhiều ứng dụng quan trọng, như tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ, và tính độ dài của một vectơ.
Tích có hướng của hai vectơ a = (xa, ya, za) và b = (xb, yb, zb) được tính bằng công thức:
[a, b] = (yazb - zayb, zaxb - xazb, xayb - yaxb)
Tích có hướng là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ a và b. Độ dài của tích có hướng bằng diện tích của hình bình hành tạo bởi hai vectơ a và b.
Lý thuyết tọa độ vectơ có nhiều ứng dụng trong hình học không gian, bao gồm:
Bài tập 1: Cho A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6). Tìm tọa độ của vectơ AB.
Giải:AB = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3)
Bài tập 2: Cho a = (1, 2, 3) và b = (4, 5, 6). Tính tích vô hướng của a và b.
Giải:a ⋅ b = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 4 + 10 + 18 = 32
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Tọa độ của Vectơ trong Không Gian Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo. Chúc bạn học tập tốt!
