Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài tập 5 trang 36 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn. Vì vậy, chúng tôi đã biên soạn lời giải chi tiết, kèm theo các bước giải rõ ràng, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho hàm số: (y = frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}}) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b) Tìm toạ độ trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?
Đề bài
Cho hàm số: \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}}\)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Tìm toạ độ trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
b) Tọa độ của trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm có hoành độ bằng trung bình cộng hoành độ 2 điểm, tung độ bằng trung bình cộng trung bình 2 điểm
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ - 2\} \)
\(y' = \frac{{ - {x^2} - 4x + 5}}{{{{(x + 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 5\\x = 1\end{array} \right.\)
Trên các khoảng (\( - \infty \); -5), (1; \( + \infty \)) thì y' > 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-5; -2) và (-2;1) thì y' < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} = + \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{{x^2} + 2x}} = - 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} + x) = 5\) nên y = -x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = + \infty \) nên x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Khi x = 0 thì y = \(\frac{1}{2}\) nên (0; \(\frac{1}{2}\)) là giao điểm của y với trục Oy
b) Hàm số đạt cực tiểu tại x = -5 và \({y_{ct}} = 13\)
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và \({y_{cd}} = 1\)
Trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có tọa độ là \((\frac{{ - 5 + 1}}{2};\frac{{13 + 1}}{2}) = ( - 2;7)\). Điểm này là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
Bài tập 5 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về giới hạn, các định lý liên quan và các phương pháp tính giới hạn thường gặp.
Bài tập 5 yêu cầu tính giới hạn của các hàm số khi x tiến tới một giá trị cụ thể. Các hàm số có thể là các hàm đa thức, hàm phân thức, hoặc các hàm số phức tạp hơn. Việc xác định đúng dạng hàm số và áp dụng phương pháp tính giới hạn phù hợp là rất quan trọng để có được kết quả chính xác.
Có nhiều phương pháp để tính giới hạn của hàm số, tùy thuộc vào dạng hàm số và giá trị x tiến tới. Một số phương pháp thường được sử dụng bao gồm:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu của bài tập 5 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo:
Ta có thể phân tích tử số thành nhân tử như sau: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2). Khi đó, biểu thức trở thành: lim (x→2) [(x - 2)(x + 2)] / (x - 2) = lim (x→2) (x + 2). Thay x = 2 vào biểu thức, ta được: 2 + 2 = 4. Vậy, lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = 4.
Tương tự như câu a, ta phân tích tử số thành nhân tử: x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1). Khi đó, biểu thức trở thành: lim (x→-1) [(x + 1)(x^2 - x + 1)] / (x + 1) = lim (x→-1) (x^2 - x + 1). Thay x = -1 vào biểu thức, ta được: (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3. Vậy, lim (x→-1) (x^3 + 1) / (x + 1) = 3.
Đây là một giới hạn lượng giác cơ bản. Ta biết rằng lim (x→0) sin(x) / x = 1. Vậy, lim (x→0) sin(x) / x = 1.
Khi giải bài tập giới hạn, cần lưu ý một số điểm sau:
Giới hạn là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong toán học. Nó được sử dụng để định nghĩa đạo hàm, tích phân, và nhiều khái niệm khác. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn là rất quan trọng để học tốt các môn toán cao cấp.
Bài viết này đã hướng dẫn bạn giải bài tập 5 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo một cách chi tiết và dễ hiểu. Hy vọng rằng, với những kiến thức và phương pháp được trình bày, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập giới hạn khác.
