Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Chúng tôi hiểu rằng việc giải các bài tập Toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những dạng bài tập phức tạp.
Với mục tiêu hỗ trợ học sinh học tập hiệu quả, chúng tôi đã biên soạn bộ giải bài tập đầy đủ và chính xác, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài kiểm tra.
Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = \left( {2;1;3} \right)\) và \(\vec a' = \left( {3;2; - 8} \right)\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 9 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}.\)
b) \(d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 9 - 10t\\y = 7 - 10t\\z = 15 + 5t\end{array} \right.\).
c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 23 + 2t\\y = 57 + t\\z = 19 - 5t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t'\\y = 6 + t'\\z = t'\end{array} \right.\).
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, tính giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương đó, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;5;4} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;5; - 4} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 5.5 + 4.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} .\sqrt {{2^2} + {5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {71^o}34'\).
b) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;6;6} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( { - 10; - 10;5} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 10} \right) + 6.\left( { - 10} \right) + 6.5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} .\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{4}{9}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {63^o}37'\).
c) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;1;1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + \left( { - 5} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{15}}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {77^o}50'\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 53 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = \left( {2;1;3} \right)\) và \(\vec a' = \left( {3;2; - 8} \right)\).
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong không gian.
b) Vectơ \(\vec b = \left( { - 2;; - 1; - 3} \right)\) có phải là một vectơ chỉ phương của \(d\) không?
c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Phương pháp giải:
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian đã được học ở các lớp dưới.
b) Kiểm tra xem \(\vec b\) có cùng phương với vectơ \(\vec a\) không.
c) Do góc của hai đường thẳng lớn nhất là 90 độ, còn góc giữa hai vectơ lớn nhất là 180 độ.
d) Từ câu c, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) cùng đi qua một điểm và tương ứng song song (hoặc trùng) với \(d\) và \(d'\).
b) Ta có \(\vec b = \left( { - 2; - 1; - 3} \right) = - \vec a\) nên \(\vec b\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
c) Do \(\vec a\) và \(\vec a'\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của \(d\) và \(d'\), nên ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right|\).
Ta có \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ đối nhau, nên ta có \(\left( {\vec a,\vec a'} \right)\) và \(\left( {\vec b,\vec a'} \right)\) là hai góc bù nhau. Suy ra \(\left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
Như vậy \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
d) Từ câu c, ta có côsin của góc giữa hai đường thẳng trong không gian là giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Trả lời câu hỏi Thực hành 10 trang 56 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 3t\\y = - 11 + t\\z = - 21 - 2t\end{array} \right.\) và \(\left( P \right):6x + 2y - 4z + 7 = 0.\)
b) \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}\) và \(\left( P \right):2x + 2y - 4z + 1 = 0.\)
c) \(d:\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z + 11}}{2}\) và \(\left( P \right):2y - 4z + 7 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương \(\vec a\) của \(d\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của \(\left( P \right)\). Sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Lời giải chi tiết:
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {3;1; - 2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {6;2; - 4} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {3.6 + 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 1\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {90^o}\).
b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {2;4;2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {2;2; - 4} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{1}{6}\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) \approx {9^o}36'\).
c) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {4;4;2} \right).\)
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {0;2; - 4} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 0.\)
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {0^o}.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 11 trang 58 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\left( P \right):3x + 7y - z + 4 = 0\) và \(\left( {P'} \right):x + y - 10z + 2025 = 0.\)
b) \(\left( P \right):x + y - 2z + 9 = 0\) và \(\left( {P'} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0.\)
c) \(\left( P \right):x + z + 3 = 0\) và \(\left( {P'} \right):3y + 3z + 5 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\), sau đó sử dụng công thức \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {3;7; - 1} \right)\) và \(\vec n' = \left( {1;1; - 10} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 7.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 10} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {6018} }}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) \approx {75^o}3'.\)
b) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {1;1; - 2} \right)\) và \(\vec n' = \left( {3; - 5;1} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.3 + 1.\left( { - 5} \right) + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt {210} }}{{105}}\).
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) \approx {73^o}59'.\)
c) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {1;0;1} \right)\) và \(\vec n' = \left( {0;3;3} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 0.3 + 1.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {3^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{2}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = {30^o}.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 12 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Cho biết \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\). Tính góc giữa:
a) hai đường thẳng \(AC\) và \(BA'.\)
b) hai mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) và \(\left( {AA'C'C} \right).\)
c) đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right).\)
Phương pháp giải:
a) Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(AC\) và \(BA'\), côsin góc giữa hai đường thẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
b) Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) và \(\left( {AA'C'C} \right)\), côsin góc giữa hai mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
c) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AC'\) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\), sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\), suy ra \(C\left( {1;5;0} \right).\)
Suy ra \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BA'} = \left( { - 1;0;3} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {AC,BA'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.0 + 0.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {65} }}{{130}}\).
Vậy \(\left( {AC,BA'} \right) \approx {86^o}27'.\)
b) Ta có \(BB' \bot AC\) và \[DB \bot AC\] nên \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right).\)
Ta có \(CC' \bot BD\) và \[AC \bot BD\] nên \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;5;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {AA'C'C} \right).\)
Như vậy,
\(\cos \left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.5 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {0^2}} \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2} + {0^2}} }} = \frac{{12}}{{13}}.\)
Suy ra \(\left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) \approx {22^o}37'\).
c) Ta có \(C'\left( {1;5;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC'} = \left( {1;5;3} \right).\)
Ta có \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\). Suy ra mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {A'B} \left( {1;0; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {A'D} \left( {0;5; - 3} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {15;3;5} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC'} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {1.15 + 5.3 + 3.5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}} .\sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = \frac{{9\sqrt {185} }}{{259}}.\)
Suy ra \(\left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) \approx {28^o}12'.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 57 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)\), \(\vec n' = \left( {{n_1}';{n_2}';{n_3}'} \right)\) (hình dưới dây).
Gọi \(d\) và \(d'\) là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\). Gốc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\). So sánh \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right)\) và \(\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right).\)
Phương pháp giải:
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), từ đó rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), nên suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left( {d,d'} \right).\)
Như vậy \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right|\). (Do \(\vec n\) và \(\vec n'\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(d'.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 5 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian \(Oxyz\). Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là: \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{9}\) (hình dưới đây).
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, tính giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương đó, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Lời giải chi tiết:
Tia sáng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 1} \right)\).
Tia sáng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {3;3;9} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 1.3 + \left( { - 1} \right).9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2} + {9^2}} }} = 0\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) = {90^o}\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 7 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right):4x + 11z + 5 = 0\) và mặt sàn \(\left( Q \right):z - 1 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right)\) và mặt sàn \(\left( Q \right)\), côsin góc giữa hai mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {4;0;11} \right).\)
Mặt sàn \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {0;0;1} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 0.0 + 11.1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {0^2} + {{11}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {137} }}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx {19^o}59'.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 6 trang 56 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Đề bài:
Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Tính góc giữa tia sáng có phương trình \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) và măt sàn sân khấu có phương trình \(z = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương \(\vec a\) của tia sáng \(d\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt sân khấu \(\left( P \right)\). Sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Lời giải chi tiết:
Một vectơ chỉ phương của tia sáng \(d\) là \(\vec a = \left( {0;1;1} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt sân khấu \(\left( P \right)\) là
\(\vec n = \left( {0;0;1} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {0.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {45^o}.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)\). Biết \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại điểm \(N\) và hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\) là đường thẳng \(d'\). Qua \(N\) vẽ đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\) (hình dưới đây).
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
b) Có nhận xét gì về số đo hai góc \(\alpha = \left( {d,d'} \right)\); \(\beta = \left( {\Delta ,d} \right)\)?
c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\).
Phương pháp giải:
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đã được học ở các lớp dưới.
b) Chỉ ra rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}\).
c) Từ câu b, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \({90^o}\).
Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và hình chiếu \(a'\) của \(a\) trên \(\left( P \right).\)
b) Nhìn vào hình vẽ, ta thấy rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}.\)
c) Do \(\alpha + \beta = {90^o}\) nên ta có \(\sin \alpha = \cos \beta .\)
Ta có \(d'\) là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\), nên \(\alpha = \left( {d,d'} \right) = \left( {d,\left( P \right)} \right).\)
Ta có \(\beta = \left( {\Delta ,d} \right)\) nên \(\cos \beta = \cos \left( {\Delta ,d} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\). (Vì \(\vec a\) và \(\vec n\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(\Delta \)).
Mà \(\sin \alpha = \cos \beta \) nên \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 53 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = \left( {2;1;3} \right)\) và \(\vec a' = \left( {3;2; - 8} \right)\).
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong không gian.
b) Vectơ \(\vec b = \left( { - 2;; - 1; - 3} \right)\) có phải là một vectơ chỉ phương của \(d\) không?
c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Phương pháp giải:
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian đã được học ở các lớp dưới.
b) Kiểm tra xem \(\vec b\) có cùng phương với vectơ \(\vec a\) không.
c) Do góc của hai đường thẳng lớn nhất là 90 độ, còn góc giữa hai vectơ lớn nhất là 180 độ.
d) Từ câu c, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) cùng đi qua một điểm và tương ứng song song (hoặc trùng) với \(d\) và \(d'\).
b) Ta có \(\vec b = \left( { - 2; - 1; - 3} \right) = - \vec a\) nên \(\vec b\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
c) Do \(\vec a\) và \(\vec a'\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của \(d\) và \(d'\), nên ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right|\).
Ta có \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ đối nhau, nên ta có \(\left( {\vec a,\vec a'} \right)\) và \(\left( {\vec b,\vec a'} \right)\) là hai góc bù nhau. Suy ra \(\left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
Như vậy \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
d) Từ câu c, ta có côsin của góc giữa hai đường thẳng trong không gian là giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Trả lời câu hỏi Thực hành 9 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}.\)
b) \(d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 9 - 10t\\y = 7 - 10t\\z = 15 + 5t\end{array} \right.\).
c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 23 + 2t\\y = 57 + t\\z = 19 - 5t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t'\\y = 6 + t'\\z = t'\end{array} \right.\).
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, tính giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương đó, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;5;4} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;5; - 4} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 5.5 + 4.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} .\sqrt {{2^2} + {5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {71^o}34'\).
b) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;6;6} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( { - 10; - 10;5} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 10} \right) + 6.\left( { - 10} \right) + 6.5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} .\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{4}{9}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {63^o}37'\).
c) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;1;1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + \left( { - 5} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{15}}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {77^o}50'\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 5 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian \(Oxyz\). Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là: \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{9}\) (hình dưới đây).
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, tính giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương đó, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Lời giải chi tiết:
Tia sáng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 1} \right)\).
Tia sáng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {3;3;9} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 1.3 + \left( { - 1} \right).9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2} + {9^2}} }} = 0\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) = {90^o}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)\). Biết \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại điểm \(N\) và hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\) là đường thẳng \(d'\). Qua \(N\) vẽ đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\) (hình dưới đây).
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
b) Có nhận xét gì về số đo hai góc \(\alpha = \left( {d,d'} \right)\); \(\beta = \left( {\Delta ,d} \right)\)?
c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\).
Phương pháp giải:
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đã được học ở các lớp dưới.
b) Chỉ ra rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}\).
c) Từ câu b, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \({90^o}\).
Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và hình chiếu \(a'\) của \(a\) trên \(\left( P \right).\)
b) Nhìn vào hình vẽ, ta thấy rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}.\)
c) Do \(\alpha + \beta = {90^o}\) nên ta có \(\sin \alpha = \cos \beta .\)
Ta có \(d'\) là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\), nên \(\alpha = \left( {d,d'} \right) = \left( {d,\left( P \right)} \right).\)
Ta có \(\beta = \left( {\Delta ,d} \right)\) nên \(\cos \beta = \cos \left( {\Delta ,d} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\). (Vì \(\vec a\) và \(\vec n\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(\Delta \)).
Mà \(\sin \alpha = \cos \beta \) nên \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 10 trang 56 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 3t\\y = - 11 + t\\z = - 21 - 2t\end{array} \right.\) và \(\left( P \right):6x + 2y - 4z + 7 = 0.\)
b) \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}\) và \(\left( P \right):2x + 2y - 4z + 1 = 0.\)
c) \(d:\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z + 11}}{2}\) và \(\left( P \right):2y - 4z + 7 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương \(\vec a\) của \(d\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của \(\left( P \right)\). Sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Lời giải chi tiết:
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {3;1; - 2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {6;2; - 4} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {3.6 + 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 1\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {90^o}\).
b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {2;4;2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {2;2; - 4} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{1}{6}\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) \approx {9^o}36'\).
c) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {4;4;2} \right).\)
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {0;2; - 4} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 0.\)
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {0^o}.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 6 trang 56 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Đề bài:
Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Tính góc giữa tia sáng có phương trình \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) và măt sàn sân khấu có phương trình \(z = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương \(\vec a\) của tia sáng \(d\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt sân khấu \(\left( P \right)\). Sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Lời giải chi tiết:
Một vectơ chỉ phương của tia sáng \(d\) là \(\vec a = \left( {0;1;1} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt sân khấu \(\left( P \right)\) là
\(\vec n = \left( {0;0;1} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {0.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {45^o}.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 57 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)\), \(\vec n' = \left( {{n_1}';{n_2}';{n_3}'} \right)\) (hình dưới dây).
Gọi \(d\) và \(d'\) là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\). Gốc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\). So sánh \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right)\) và \(\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right).\)
Phương pháp giải:
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), từ đó rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), nên suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left( {d,d'} \right).\)
Như vậy \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right|\). (Do \(\vec n\) và \(\vec n'\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(d'.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 11 trang 58 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\left( P \right):3x + 7y - z + 4 = 0\) và \(\left( {P'} \right):x + y - 10z + 2025 = 0.\)
b) \(\left( P \right):x + y - 2z + 9 = 0\) và \(\left( {P'} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0.\)
c) \(\left( P \right):x + z + 3 = 0\) và \(\left( {P'} \right):3y + 3z + 5 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\), sau đó sử dụng công thức \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {3;7; - 1} \right)\) và \(\vec n' = \left( {1;1; - 10} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 7.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 10} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {6018} }}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) \approx {75^o}3'.\)
b) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {1;1; - 2} \right)\) và \(\vec n' = \left( {3; - 5;1} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.3 + 1.\left( { - 5} \right) + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt {210} }}{{105}}\).
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) \approx {73^o}59'.\)
c) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {1;0;1} \right)\) và \(\vec n' = \left( {0;3;3} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 0.3 + 1.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {3^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{2}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = {30^o}.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 12 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Cho biết \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\). Tính góc giữa:
a) hai đường thẳng \(AC\) và \(BA'.\)
b) hai mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) và \(\left( {AA'C'C} \right).\)
c) đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right).\)
Phương pháp giải:
a) Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(AC\) và \(BA'\), côsin góc giữa hai đường thẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
b) Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) và \(\left( {AA'C'C} \right)\), côsin góc giữa hai mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
c) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AC'\) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\), sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\), suy ra \(C\left( {1;5;0} \right).\)
Suy ra \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BA'} = \left( { - 1;0;3} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {AC,BA'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.0 + 0.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {65} }}{{130}}\).
Vậy \(\left( {AC,BA'} \right) \approx {86^o}27'.\)
b) Ta có \(BB' \bot AC\) và \[DB \bot AC\] nên \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right).\)
Ta có \(CC' \bot BD\) và \[AC \bot BD\] nên \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;5;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {AA'C'C} \right).\)
Như vậy,
\(\cos \left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.5 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {0^2}} \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2} + {0^2}} }} = \frac{{12}}{{13}}.\)
Suy ra \(\left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) \approx {22^o}37'\).
c) Ta có \(C'\left( {1;5;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC'} = \left( {1;5;3} \right).\)
Ta có \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\). Suy ra mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {A'B} \left( {1;0; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {A'D} \left( {0;5; - 3} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {15;3;5} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC'} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {1.15 + 5.3 + 3.5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}} .\sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = \frac{{9\sqrt {185} }}{{259}}.\)
Suy ra \(\left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) \approx {28^o}12'.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 7 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right):4x + 11z + 5 = 0\) và mặt sàn \(\left( Q \right):z - 1 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right)\) và mặt sàn \(\left( Q \right)\), côsin góc giữa hai mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {4;0;11} \right).\)
Mặt sàn \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {0;0;1} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 0.0 + 11.1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {0^2} + {{11}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {137} }}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx {19^o}59'.\)
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Để giải quyết hiệu quả các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững lý thuyết cơ bản, các định nghĩa, định lý và công thức liên quan. Việc hiểu rõ bản chất của vấn đề là yếu tố then chốt để tìm ra phương pháp giải phù hợp.
Các bài tập trang 53, 54, 55 thường xoay quanh việc vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán cụ thể. Chúng ta sẽ đi qua từng bài tập, phân tích đề bài, xác định các yếu tố quan trọng và trình bày lời giải chi tiết, dễ hiểu.
Đề bài: (Giả định một đề bài cụ thể)
Lời giải: (Giải thích chi tiết từng bước)
Đề bài: (Giả định một đề bài cụ thể)
Lời giải: (Giải thích chi tiết từng bước)
Tương tự như các trang trước, chúng ta sẽ tiếp tục phân tích và giải chi tiết các bài tập trang 65, 57, 58, 59. Lưu ý rằng, một số bài tập có thể yêu cầu kết hợp kiến thức từ nhiều phần khác nhau của chương trình. Do đó, việc ôn tập và hệ thống hóa kiến thức là rất quan trọng.
Đề bài: (Giả định một đề bài cụ thể)
Lời giải: (Giải thích chi tiết từng bước)
Đề bài: (Giả định một đề bài cụ thể)
Lời giải: (Giải thích chi tiết từng bước)
Trong Mục 3, học sinh có thể gặp các dạng bài tập sau:
Để giải quyết tốt các dạng bài tập này, học sinh cần luyện tập thường xuyên và nắm vững các kỹ năng giải toán cơ bản.
Dưới đây là một số mẹo giúp bạn giải bài tập Toán 12 hiệu quả:
Hy vọng rằng, với bộ giải bài tập chi tiết và các lời khuyên hữu ích trên đây, bạn sẽ tự tin hơn trong việc học tập môn Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Hãy luyện tập thường xuyên và đừng ngần ngại tìm kiếm sự giúp đỡ khi gặp khó khăn. Chúc bạn học tốt!
