Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong chương trình Toán 12, việc hiểu rõ các số đặc trưng đo mức độ phân tán là vô cùng quan trọng. Bài 2 trong chương 3 của sách Toán 12 tập 1, Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc tìm hiểu phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm. Đây là những công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta đánh giá mức độ biến động của dữ liệu.

1. Mẫu số liệu ghép nhóm là gì?

Mẫu số liệu ghép nhóm là tập hợp các giá trị quan sát được chia thành các khoảng hoặc lớp. Mỗi lớp được xác định bởi một khoảng giá trị và tần số tương ứng, cho biết số lượng giá trị quan sát nằm trong khoảng đó. Ví dụ, một bảng tần số có thể biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm.

2. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Phương sai (variance) là một số đo mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Nó cho biết mức độ các giá trị trong tập dữ liệu khác nhau so với giá trị trung bình. Công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

S² = Σ[(x_i - x̄)² * f_i] / (n - 1)

Trong đó:

x_i là trung điểm của lớp thứ i
x̄ là trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm
f_i là tần số của lớp thứ i
n là tổng số quan sát (Σf_i)

3. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Độ lệch chuẩn (standard deviation) là căn bậc hai của phương sai. Nó cũng là một số đo mức độ phân tán, nhưng có đơn vị giống với đơn vị của dữ liệu gốc. Công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

S = √S²

4. Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có bảng tần số sau:

Khoảng giá trị	Tần số (f_i)
[10, 20)	5
[20, 30)	8
[30, 40)	7

Để tính phương sai và độ lệch chuẩn, chúng ta cần tính trung điểm của mỗi khoảng giá trị (x_i), trung bình cộng (x̄), và sau đó áp dụng các công thức đã nêu ở trên.

5. Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán. Ngược lại, phương sai và độ lệch chuẩn càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung xung quanh giá trị trung bình. Trong thực tế, các số đo này được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như thống kê, kinh tế, tài chính, và khoa học.