Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 của giaibaitoan.com. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1 trang 14, 15, 16 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn học Toán.
Định nghĩa
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 14 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hình 1 cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày.
a) Khẳng định nào sau đây đúng? Vì sao?
i) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(28^\circ C\).
ii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(40^\circ C\).
iii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(34^\circ C\).
b) Hãy xác định thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày.
c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Quan sát đồ thị hình 1
Lời giải chi tiết:
a) Khẳng định đúng là iii) vì nhìn hình ta thấy điểm cao nhất của đồ thị là \(34^\circ C\)
b) Thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày (\(34^\circ C\)) là lúc 16 giờ
c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là \(20^\circ C\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng1 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên, trả lời câu hỏi trong Hoạt động khởi động (trang 14).
Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (t \( \ge \) 0) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên)
\(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\)
Vào các thời điểm nào nồng độ oxygen trong nước cao nhất và thấp nhất?
(Theo: https://www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric_ characterization _of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc)
Phương pháp giải:
Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên
Lời giải chi tiết:
Xét \(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\) trên nửa đoạn \([0; + \infty )\)
\(y'(t) = \frac{{135{t^2} - 15}}{{{{(9{t^2} + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x = - \frac{1}{3}(loai)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0; + \infty )} y(t) = y(\frac{1}{3}) = - \frac{5}{2}\) và \(\mathop {\max }\limits_{[0; + \infty )} y(t) = y(0) = 5\)
Vậy vào các thời điểm t = 0 thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất và t = \(\frac{1}{3}\) giờ thì nồng độ oxygen trong nước thấp nhất
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) \(f(x) = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 1\) trên đoạn [0;3]
b) \(g(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng (0;5)
c) \(h(x) = x\sqrt {2 - {x^2}} \)
Phương pháp giải:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) \( \le \) M với mọi x thuộc D và tồn tại \({x_0}\) thuộc D sao cho f(\({x_0}\)) = M. Kí hiệu M = \(\mathop {\max }\limits_D \)f(x). Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) \( \ge \) m với mọi x thuộc D và tồn tại \({x_0}\) thuộc D sao cho f(\({x_0}\)) = m. Kí hiệu m = \(\mathop {\min }\limits_D \)f(x).
- Tìm đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên và xác định GTLN và GTNN
Lời giải chi tiết:
a) Xét \(f(x) = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 1\) trên đoạn [0;3]
\(f'(x) = 6{x^2} - 18x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0;3]} f(x) = f(0) = 1\) và \(\mathop {\max }\limits_{[0;3]} f(x) = f(3) = 10\)
b) Xét \(g(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng (0;5)
\(g'(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1(loai)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{(0;5)} f(x) = f(1) = 2\) và hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất trên khoảng (0;5)
c) Xét \(h(x) = x\sqrt {2 - {x^2}} \)
Tập xác định: \(D = [ - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ]\)
\(h'(x) = \sqrt {2 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}\)
Tập xác định mới: \({D_1} = ( - \sqrt 2 ;\sqrt 2 )\)
\(h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_D f(x) = f( - 1) = - 1\) và \(\mathop {\max }\limits_D f(x) = f(1) = 1\)
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 14 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hình 1 cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày.
a) Khẳng định nào sau đây đúng? Vì sao?
i) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(28^\circ C\).
ii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(40^\circ C\).
iii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(34^\circ C\).
b) Hãy xác định thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày.
c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Quan sát đồ thị hình 1
Lời giải chi tiết:
a) Khẳng định đúng là iii) vì nhìn hình ta thấy điểm cao nhất của đồ thị là \(34^\circ C\)
b) Thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày (\(34^\circ C\)) là lúc 16 giờ
c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là \(20^\circ C\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) \(f(x) = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 1\) trên đoạn [0;3]
b) \(g(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng (0;5)
c) \(h(x) = x\sqrt {2 - {x^2}} \)
Phương pháp giải:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) \( \le \) M với mọi x thuộc D và tồn tại \({x_0}\) thuộc D sao cho f(\({x_0}\)) = M. Kí hiệu M = \(\mathop {\max }\limits_D \)f(x). Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) \( \ge \) m với mọi x thuộc D và tồn tại \({x_0}\) thuộc D sao cho f(\({x_0}\)) = m. Kí hiệu m = \(\mathop {\min }\limits_D \)f(x).
- Tìm đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên và xác định GTLN và GTNN
Lời giải chi tiết:
a) Xét \(f(x) = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 1\) trên đoạn [0;3]
\(f'(x) = 6{x^2} - 18x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0;3]} f(x) = f(0) = 1\) và \(\mathop {\max }\limits_{[0;3]} f(x) = f(3) = 10\)
b) Xét \(g(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng (0;5)
\(g'(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1(loai)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{(0;5)} f(x) = f(1) = 2\) và hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất trên khoảng (0;5)
c) Xét \(h(x) = x\sqrt {2 - {x^2}} \)
Tập xác định: \(D = [ - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ]\)
\(h'(x) = \sqrt {2 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}\)
Tập xác định mới: \({D_1} = ( - \sqrt 2 ;\sqrt 2 )\)
\(h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_D f(x) = f( - 1) = - 1\) và \(\mathop {\max }\limits_D f(x) = f(1) = 1\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng1 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên, trả lời câu hỏi trong Hoạt động khởi động (trang 14).
Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (t \( \ge \) 0) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên)
\(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\)
Vào các thời điểm nào nồng độ oxygen trong nước cao nhất và thấp nhất?
(Theo: https://www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric_ characterization _of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc)
Phương pháp giải:
Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên
Lời giải chi tiết:
Xét \(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\) trên nửa đoạn \([0; + \infty )\)
\(y'(t) = \frac{{135{t^2} - 15}}{{{{(9{t^2} + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x = - \frac{1}{3}(loai)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0; + \infty )} y(t) = y(\frac{1}{3}) = - \frac{5}{2}\) và \(\mathop {\max }\limits_{[0; + \infty )} y(t) = y(0) = 5\)
Vậy vào các thời điểm t = 0 thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất và t = \(\frac{1}{3}\) giờ thì nồng độ oxygen trong nước thấp nhất
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ôn tập và hệ thống hóa kiến thức về hàm số và đồ thị. Đây là nền tảng quan trọng để học sinh tiếp cận các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình học. Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu, cực trị của hàm số, và vẽ đồ thị hàm số.
Bài 1 yêu cầu học sinh xác định tập xác định của hàm số. Để giải bài này, học sinh cần nắm vững các điều kiện để hàm số có nghĩa, ví dụ như mẫu số khác 0, biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0, và logarit có cơ số lớn hơn 0 và khác 1.
Bài 2 yêu cầu học sinh tìm tập giá trị của hàm số. Để giải bài này, học sinh cần xét các trường hợp khác nhau của biến x và tìm ra khoảng giá trị mà y có thể đạt được. Việc sử dụng các phương pháp như xét hàm số đơn điệu, tìm cực trị, hoặc sử dụng đạo hàm có thể giúp giải quyết bài toán này.
Ví dụ, xét hàm số y = x² - 4x + 3. Ta có thể viết lại hàm số dưới dạng y = (x-2)² - 1. Vì (x-2)² ≥ 0 với mọi x, nên y ≥ -1. Vậy tập giá trị của hàm số là D = [-1, +∞).
Bài 3 yêu cầu học sinh khảo sát sự biến thiên của hàm số. Để giải bài này, học sinh cần thực hiện các bước sau:
Ví dụ, xét hàm số y = x³ - 3x² + 2. Ta có y' = 3x² - 6x = 3x(x-2). Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 và x = 2. Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.
Để giải tốt các bài tập trong mục 1, học sinh cần:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập trong mục 1 trang 14, 15, 16 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
