Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 3 trong chương trình Toán 12 tập 2, sách Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc ứng dụng tích phân để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hình học, đặc biệt là tính diện tích và thể tích của các hình phức tạp. Việc nắm vững kiến thức này không chỉ quan trọng cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn là nền tảng cho các ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:

Diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức: ∫_a^b |f(x)| dx.
Thể tích khối tròn xoay:
- Phương pháp đĩa: V = π ∫_a^b [f(x)]² dx (khi quay quanh trục Ox).
- Phương pháp vỏ: V = 2π ∫_a^b x|f(x)| dx (khi quay quanh trục Oy).

II. Giải bài tập SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo - Bài 3

Dưới đây là lời giải chi tiết các bài tập trong SGK:

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² và y = 4x.

Lời giải:

Tìm giao điểm của hai đường cong: x² = 4x => x = 0 hoặc x = 4.
Diện tích hình phẳng là: ∫₀⁴ (4x - x²) dx = [2x² - (x³/3)]₀⁴ = 32/3.

Bài 2: Tính thể tích khối tròn xoay

Đề bài: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = x², y = 0 và x = 2 quanh trục Ox.

Lời giải:

Sử dụng phương pháp đĩa: V = π ∫₀² (x²)² dx = π ∫₀² x⁴ dx = π [x⁵/5]₀² = 32π/5.

Bài 3: Ứng dụng thực tế

Đề bài: Một hồ nước có dạng hình parabol với phương trình y = x². Chiều rộng của hồ nước tại mặt nước là 4m. Tính thể tích của hồ nước.

Lời giải:

Đặt hệ tọa độ sao cho đỉnh parabol là gốc tọa độ. Khi đó, chiều rộng của hồ nước là 4m tương ứng với x = 2 và x = -2. Thể tích của hồ nước được tính bằng cách quay phần parabol giới hạn bởi x = -2 và x = 2 quanh trục Oy. Sử dụng phương pháp vỏ, ta có: V = 2π ∫₀² x(x²) dx = 2π ∫₀² x³ dx = 2π [x⁴/4]₀² = 8π.

III. Mở rộng và nâng cao

Ngoài các bài tập trong SGK, các em có thể tìm hiểu thêm các bài tập nâng cao về ứng dụng tích phân trong hình học, ví dụ như tính độ dài cung đường cong, diện tích bề mặt của vật tròn xoay,...

IV. Luyện tập và củng cố

Để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập, các em nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Giaibaitoan.com cung cấp một kho bài tập phong phú với nhiều mức độ khó khác nhau để các em lựa chọn.

Hy vọng với bài viết này, các em đã hiểu rõ hơn về Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!