Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tại giaibaitoan.com. Chúng tôi xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1 trang 21, 22, 23 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi cam kết cung cấp những lời giải chính xác, khoa học, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán khó.
Tính diện tích hình phẳng
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 22 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = 2x - {x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 3\).
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = 2x - {x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 3\) là \(S = \int\limits_0^3 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} \)
Ta có \(2x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Với \(x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(2x - {x^2} \ge 0\). Với \(x \in \left[ {2;3} \right]\) thì \(2x - {x^2} \le 0\).
Vậy \(S = \int\limits_0^3 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_2^3 = \left( {\frac{4}{3} - 0} \right) + \left[ {0 - \left( { - \frac{4}{3}} \right)} \right] = \frac{8}{3}\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 22 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = \cos x - 2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = \pi \).
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = \cos x - 2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = \pi \) là \(S = \int\limits_0^\pi {\left| {\cos x - 2} \right|dx} \).
Do \(\cos x - 2 < 0\) với \(\forall x \in \left[ {0;\pi } \right]\).
Do đó \(S = \int\limits_0^\pi {\left( {2 - \cos x} \right)dx} = \left. {\left( {2x - \sin x} \right)} \right|_0^\pi = 2\pi - 0 = 2\pi \).
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2} - 2x - 1\), \(y = x - 1\) và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\).
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \({f_1}\left( x \right)\) và \({f_2}\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|dx} \)
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2} - 2x - 1\), \(y = x - 1\) và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\) là:
\(S = \int\limits_1^4 {\left| {\left( {{x^2} - 2x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \right|dx} = \int\limits_1^4 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} \)
Ta có \({x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 3\)
Do đó
\(S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} + \int\limits_3^4 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} = \left| {\int\limits_1^3 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_3^4 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx} } \right|\)
\( = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 3\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^3} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 3\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_3^4} \right| = \left| {\frac{{ - 9}}{2} - \frac{{ - 7}}{6}} \right| + \left| {\frac{{ - 8}}{3} - \frac{{ - 9}}{2}} \right| = \left| { - \frac{{10}}{3}} \right| + \left| {\frac{{11}}{6}} \right| = \frac{{31}}{6}\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = 5x - {x^2}\), \(y = {x^2} - x\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\).
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \({f_1}\left( x \right)\) và \({f_2}\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|dx} \)
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = 5x - {x^2}\), \(y = {x^2} - x\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là
\(S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {5x - {x^2}} \right) - \left( {{x^2} - x} \right)} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left| {6x - 2{x^2}} \right|dx} = 2\int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} \)
Ta có \({x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 3\)
Do đó \(S = \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx} } \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 3\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2} \right| = \left| { - \frac{{10}}{3}} \right| = \frac{{10}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 21 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Gọi \(d\) là đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right) = 6 - 2x\). Kí hiệu \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và trục tung; \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và đường thẳng \(x = 5\) (Hình 1).
a) Tính \({S_1}\) và so sánh với \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \).
b) Tính \({S_2}\) và so sánh với \(\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} \).
c) So sánh \(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) với \({S_1} + {S_2}\).
Phương pháp giải:
a) Theo hình vẽ, \({S_1}\) là diện tích tam giác \(OAB\). Tính diện tích tam giác \(OAB\), sau đó tính tích phân \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \) và so sánh các kết quả thu được.
b) Theo hình vẽ. \({S_2}\) là diện tích tam giác \(CBM\). Tính diện tích tam giác \(CBM\), sau đó tính tích phân \(\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} \) và so sánh các kết quả thu được.
c) Tính \(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_3^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \), sau đó phá dấu giá trị tuyệt đối và tính các tích phân cơ bản, sau đó so sánh kết quả thu được với \({S_1} + {S_2}\).
Lời giải chi tiết:
a) Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\), ta có \(OA = 6\), \(OB = 3\). Diện tích tam giác \(OAB\) là:
\({S_1} = \frac{{OA.OB}}{2} = \frac{{6.3}}{2} = 9\).
Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^3 {\left( {6 - 2x} \right)dx} = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_0^3 = 9 - 0 = 9\).
Như vậy \({S_1} = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \)
b) Tam giác \(CBM\) vuông tại \(M\), ta có \(MB = 2\), \(MC = 4\). Diện tích tam giác \(CBM\) là:
\({S_2} = \frac{{MB.MC}}{2} = \frac{{2.4}}{2} = 4\).
Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_3^5 {\left( {6 - 2x} \right)dx} = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_3^5 = 5 - 9 = - 4\).
Như vậy \({S_2} = - \int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} \)
c) Ta có:
\(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_0^5 {\left| {6 - 2x} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left| {6 - 2x} \right|dx} + \int\limits_3^5 {\left| {6 - 2x} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left( {6 - 2x} \right)dx} + \int\limits_3^5 {\left( {2x - 6} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_0^3 + \left. {\left( {{x^2} - 6x} \right)} \right|_3^5 = \left( {9 - 0} \right) + \left[ {\left( { - 5} \right) - \left( { - 9} \right)} \right] = 13\)
Như vậy \(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = 13 = {S_1} + {S_2}\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 23 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai hàm số \(y = 4x - {x^2}\) và \(y = x\) lần lượt có đồ thị \(\left( P \right)\) và \(d\) như hình 4.
a) Tính diện tích \({S_1}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\).
b) Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(d\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\).
Phương pháp giải:
a) Diện tích \({S_1}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_1} = \int\limits_0^2 {\left| {4x - {x^2}} \right|dx} \)
b) Diện tích \({S_2}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_2} = \int\limits_0^2 {\left| x \right|dx} \).
Suy ra diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(d\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \(S = {S_1} - {S_2}\).
Lời giải chi tiết:
Diện tích \({S_1}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_1} = \int\limits_0^2 {\left| {4x - {x^2}} \right|dx} \)
Ta thấy rằng với \(\forall x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(4x - {x^2} \ge 0\), do đó:
\({S_1} = \int\limits_0^2 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{16}}{3}\)
b) Diện tích \({S_2}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_2} = \int\limits_0^2 {\left| x \right|dx} \).
Ta thấy rằng với \(\forall x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(x \ge 0\), do đó:
\({S_2} = \int\limits_0^2 {xdx} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = 2\)
Vậy diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(d\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{16}}{3} - 2 = \frac{{10}}{3}\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như hình 7. Tính diện tích của cửa hầm.
Phương pháp giải:
Ta ghép mặt cắt của cửa hầm vào mặt phẳng \(Oxy\) như hình vẽ dưới đây.
Diện tích của cửa hầm chính là diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi parabol \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\) và \(x = 6\).
Để tính được diện tích của cửa hầm, ta xác định phương trình của parabol \(y = f\left( x \right)\) như trong hình, sau đó tính tích phân \(S = \int\limits_0^6 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Ta ghép mặt cắt của cửa hầm vào mặt phẳng \(Oxy\) như hình vẽ dưới đây. Diện tích của cửa hầm chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 6\).
Ta nhận thấy rằng parabol đi qua các điểm có toạ độ \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {6;0} \right)\) và \(\left( {3;6} \right)\) (trục đối xứng của parabol đi qua đỉnh), do đó ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{{.0}^2} + b.0 + c = 0}\\{a{{.6}^2} + b.6 + c = 0}\\{a{{.3}^2} + b.3 + c = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 0}\\{36a + 6b + c = 0}\\{9a + 3b + c = 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{2}{3}}\\{b = 4}\\{c = 0}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy phương trình của parabol là \(y = - \frac{2}{3}{x^2} + 4x\).
Ta thấy rằng với \(x \in \left[ {0;6} \right]\) thì parabol nằm trên trục hoành. Do đó, diện tích của cửa hầm, cũng chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - \frac{2}{3}{x^2} + 4x\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 0\), \(x = 6\) là:
\(S = \int\limits_0^6 {\left| { - \frac{2}{3}{x^2} + 4x} \right|dx} = \int\limits_0^6 {\left( { - \frac{2}{3}{x^2} + 4x} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{ - 2}}{9}{x^3} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^6 = 24\)
Vậy diện tích của cửa hầm là 24 \({{\rm{m}}^2}\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 21 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Gọi \(d\) là đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right) = 6 - 2x\). Kí hiệu \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và trục tung; \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và đường thẳng \(x = 5\) (Hình 1).
a) Tính \({S_1}\) và so sánh với \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \).
b) Tính \({S_2}\) và so sánh với \(\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} \).
c) So sánh \(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) với \({S_1} + {S_2}\).
Phương pháp giải:
a) Theo hình vẽ, \({S_1}\) là diện tích tam giác \(OAB\). Tính diện tích tam giác \(OAB\), sau đó tính tích phân \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \) và so sánh các kết quả thu được.
b) Theo hình vẽ. \({S_2}\) là diện tích tam giác \(CBM\). Tính diện tích tam giác \(CBM\), sau đó tính tích phân \(\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} \) và so sánh các kết quả thu được.
c) Tính \(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_3^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \), sau đó phá dấu giá trị tuyệt đối và tính các tích phân cơ bản, sau đó so sánh kết quả thu được với \({S_1} + {S_2}\).
Lời giải chi tiết:
a) Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\), ta có \(OA = 6\), \(OB = 3\). Diện tích tam giác \(OAB\) là:
\({S_1} = \frac{{OA.OB}}{2} = \frac{{6.3}}{2} = 9\).
Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^3 {\left( {6 - 2x} \right)dx} = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_0^3 = 9 - 0 = 9\).
Như vậy \({S_1} = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \)
b) Tam giác \(CBM\) vuông tại \(M\), ta có \(MB = 2\), \(MC = 4\). Diện tích tam giác \(CBM\) là:
\({S_2} = \frac{{MB.MC}}{2} = \frac{{2.4}}{2} = 4\).
Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_3^5 {\left( {6 - 2x} \right)dx} = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_3^5 = 5 - 9 = - 4\).
Như vậy \({S_2} = - \int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} \)
c) Ta có:
\(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_0^5 {\left| {6 - 2x} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left| {6 - 2x} \right|dx} + \int\limits_3^5 {\left| {6 - 2x} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left( {6 - 2x} \right)dx} + \int\limits_3^5 {\left( {2x - 6} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_0^3 + \left. {\left( {{x^2} - 6x} \right)} \right|_3^5 = \left( {9 - 0} \right) + \left[ {\left( { - 5} \right) - \left( { - 9} \right)} \right] = 13\)
Như vậy \(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = 13 = {S_1} + {S_2}\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 22 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = 2x - {x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 3\).
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = 2x - {x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 3\) là \(S = \int\limits_0^3 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} \)
Ta có \(2x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Với \(x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(2x - {x^2} \ge 0\). Với \(x \in \left[ {2;3} \right]\) thì \(2x - {x^2} \le 0\).
Vậy \(S = \int\limits_0^3 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_2^3 = \left( {\frac{4}{3} - 0} \right) + \left[ {0 - \left( { - \frac{4}{3}} \right)} \right] = \frac{8}{3}\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 22 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = \cos x - 2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = \pi \).
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = \cos x - 2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = \pi \) là \(S = \int\limits_0^\pi {\left| {\cos x - 2} \right|dx} \).
Do \(\cos x - 2 < 0\) với \(\forall x \in \left[ {0;\pi } \right]\).
Do đó \(S = \int\limits_0^\pi {\left( {2 - \cos x} \right)dx} = \left. {\left( {2x - \sin x} \right)} \right|_0^\pi = 2\pi - 0 = 2\pi \).
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 23 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai hàm số \(y = 4x - {x^2}\) và \(y = x\) lần lượt có đồ thị \(\left( P \right)\) và \(d\) như hình 4.
a) Tính diện tích \({S_1}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\).
b) Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(d\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\).
Phương pháp giải:
a) Diện tích \({S_1}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_1} = \int\limits_0^2 {\left| {4x - {x^2}} \right|dx} \)
b) Diện tích \({S_2}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_2} = \int\limits_0^2 {\left| x \right|dx} \).
Suy ra diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(d\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \(S = {S_1} - {S_2}\).
Lời giải chi tiết:
Diện tích \({S_1}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_1} = \int\limits_0^2 {\left| {4x - {x^2}} \right|dx} \)
Ta thấy rằng với \(\forall x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(4x - {x^2} \ge 0\), do đó:
\({S_1} = \int\limits_0^2 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{16}}{3}\)
b) Diện tích \({S_2}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_2} = \int\limits_0^2 {\left| x \right|dx} \).
Ta thấy rằng với \(\forall x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(x \ge 0\), do đó:
\({S_2} = \int\limits_0^2 {xdx} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = 2\)
Vậy diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(d\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{16}}{3} - 2 = \frac{{10}}{3}\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2} - 2x - 1\), \(y = x - 1\) và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\).
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \({f_1}\left( x \right)\) và \({f_2}\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|dx} \)
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2} - 2x - 1\), \(y = x - 1\) và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\) là:
\(S = \int\limits_1^4 {\left| {\left( {{x^2} - 2x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \right|dx} = \int\limits_1^4 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} \)
Ta có \({x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 3\)
Do đó
\(S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} + \int\limits_3^4 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} = \left| {\int\limits_1^3 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_3^4 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx} } \right|\)
\( = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 3\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^3} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 3\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_3^4} \right| = \left| {\frac{{ - 9}}{2} - \frac{{ - 7}}{6}} \right| + \left| {\frac{{ - 8}}{3} - \frac{{ - 9}}{2}} \right| = \left| { - \frac{{10}}{3}} \right| + \left| {\frac{{11}}{6}} \right| = \frac{{31}}{6}\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = 5x - {x^2}\), \(y = {x^2} - x\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\).
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \({f_1}\left( x \right)\) và \({f_2}\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|dx} \)
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = 5x - {x^2}\), \(y = {x^2} - x\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là
\(S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {5x - {x^2}} \right) - \left( {{x^2} - x} \right)} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left| {6x - 2{x^2}} \right|dx} = 2\int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} \)
Ta có \({x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 3\)
Do đó \(S = \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx} } \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 3\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2} \right| = \left| { - \frac{{10}}{3}} \right| = \frac{{10}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như hình 7. Tính diện tích của cửa hầm.
Phương pháp giải:
Ta ghép mặt cắt của cửa hầm vào mặt phẳng \(Oxy\) như hình vẽ dưới đây.
Diện tích của cửa hầm chính là diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi parabol \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\) và \(x = 6\).
Để tính được diện tích của cửa hầm, ta xác định phương trình của parabol \(y = f\left( x \right)\) như trong hình, sau đó tính tích phân \(S = \int\limits_0^6 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Ta ghép mặt cắt của cửa hầm vào mặt phẳng \(Oxy\) như hình vẽ dưới đây. Diện tích của cửa hầm chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 6\).
Ta nhận thấy rằng parabol đi qua các điểm có toạ độ \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {6;0} \right)\) và \(\left( {3;6} \right)\) (trục đối xứng của parabol đi qua đỉnh), do đó ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{{.0}^2} + b.0 + c = 0}\\{a{{.6}^2} + b.6 + c = 0}\\{a{{.3}^2} + b.3 + c = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 0}\\{36a + 6b + c = 0}\\{9a + 3b + c = 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{2}{3}}\\{b = 4}\\{c = 0}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy phương trình của parabol là \(y = - \frac{2}{3}{x^2} + 4x\).
Ta thấy rằng với \(x \in \left[ {0;6} \right]\) thì parabol nằm trên trục hoành. Do đó, diện tích của cửa hầm, cũng chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - \frac{2}{3}{x^2} + 4x\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 0\), \(x = 6\) là:
\(S = \int\limits_0^6 {\left| { - \frac{2}{3}{x^2} + 4x} \right|dx} = \int\limits_0^6 {\left( { - \frac{2}{3}{x^2} + 4x} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{ - 2}}{9}{x^3} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^6 = 24\)
Vậy diện tích của cửa hầm là 24 \({{\rm{m}}^2}\).
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong mục này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các chương tiếp theo. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 1, trang 21, 22, 23, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề và áp dụng linh hoạt vào các bài toán tương tự.
Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững nội dung chính của mục 1. Thông thường, mục này sẽ giới thiệu các khái niệm, định lý, công thức quan trọng liên quan đến một chủ đề cụ thể. Các em học sinh nên đọc kỹ lý thuyết trong sách giáo khoa và ghi chép lại những điểm quan trọng để phục vụ cho việc giải bài tập.
Bài 1: (Nêu đề bài tập 1 trang 21)
Lời giải: (Giải chi tiết bài tập 1, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và sử dụng các công thức liên quan).
Bài 2: (Nêu đề bài tập 2 trang 21)
Lời giải: (Giải chi tiết bài tập 2, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và sử dụng các công thức liên quan).
Bài 3: (Nêu đề bài tập 3 trang 22)
Lời giải: (Giải chi tiết bài tập 3, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và sử dụng các công thức liên quan).
Bài 4: (Nêu đề bài tập 4 trang 22)
Lời giải: (Giải chi tiết bài tập 4, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và sử dụng các công thức liên quan).
Bài 5: (Nêu đề bài tập 5 trang 23)
Lời giải: (Giải chi tiết bài tập 5, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và sử dụng các công thức liên quan).
Bài 6: (Nêu đề bài tập 6 trang 23)
Lời giải: (Giải chi tiết bài tập 6, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và sử dụng các công thức liên quan).
Sau khi đã giải xong các bài tập trong SGK, các em nên tự luyện tập thêm các bài tập tương tự để củng cố kiến thức và kỹ năng. Các em có thể tìm kiếm các bài tập luyện tập trên internet hoặc trong các sách bài tập tham khảo. Ngoài ra, các em cũng nên tham khảo các nguồn tài liệu học tập khác như video bài giảng, bài viết hướng dẫn, diễn đàn học tập để mở rộng kiến thức và hiểu sâu hơn về chủ đề này.
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1 trang 21, 22, 23 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán. Chúc các em học tốt!
