Lý thuyết Đường tiệm cận Toán 12 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết đường tiệm cận trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo tại giaibaitoan.com.

Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong việc phân tích và vẽ đồ thị hàm số.

Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về các loại đường tiệm cận, cách xác định và ứng dụng của chúng trong giải toán.

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1. Đường tiệm cận đứng

1. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng \(x = {x_0}\) gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = - \infty \).

Ví dụ: Tìm TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{3 - x}}{{x + 2}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3x - 2}}{{x + 2}} = + \infty \)

Vậy đồ thị hàm số có TCĐ là x = -2.

2. Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = {y_0}\).

Ví dụ: Tìm TCN của đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 3\)

Vậy đồ thị hàm số f(x) có TCN là y = 3.

3. Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng \(y = ax + b(a \ne 0)\) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\).

Ví dụ: Tìm TCX của đồ thị hàm số \(y = f(x) = x + \frac{1}{{x + 2}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0\)

Vậy đồ thị hàm số có TCX là y = x.

Chinh phục điểm cao Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, rộng mở cánh cửa Đại học với nội dung Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo trong chuyên mục toán lớp 12 trên nền tảng soạn toán! Bộ bài tập toán thpt, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn trang bị chiến thuật làm bài hiệu quả, tự tin đạt kết quả đột phá, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vững vàng vào đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo

Đường tiệm cận đóng vai trò quan trọng trong việc xác định hình dạng và tính chất của đồ thị hàm số. Hiểu rõ lý thuyết này giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số một cách hiệu quả.

1. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiến gần đến khi x hoặc y tiến đến vô cùng.

2. Các loại đường tiệm cận

Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→a⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→a^- f(x) = ±∞.
Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ f(x) = b hoặc lim_x→-∞ f(x) = b.
Tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (với a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ [f(x) - (ax + b)] / x = 0 hoặc lim_x→-∞ [f(x) - (ax + b)] / x = 0.

3. Cách xác định đường tiệm cận

Để xác định đường tiệm cận, ta cần thực hiện các bước sau:

Xác định tập xác định của hàm số.
Tìm các điểm gián đoạn của hàm số.
Tính các giới hạn tại các điểm gián đoạn và khi x tiến đến vô cùng.
Dựa vào kết quả giới hạn để xác định loại đường tiệm cận.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét hàm số y = (2x + 1) / (x - 1).

Tập xác định: D = R \ {1}.
Điểm gián đoạn: x = 1.
lim_x→1⁺ (2x + 1) / (x - 1) = +∞ và lim_x→1^- (2x + 1) / (x - 1) = -∞.
Vậy, x = 1 là tiệm cận đứng.
lim_x→+∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2 và lim_x→-∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2.
Vậy, y = 2 là tiệm cận ngang.

Ví dụ 2: Xét hàm số y = x² / (x + 1).

Tập xác định: D = R \ {-1}.
Điểm gián đoạn: x = -1.
lim_x→-1⁺ x² / (x + 1) = +∞ và lim_x→-1^- x² / (x + 1) = -∞.
Vậy, x = -1 là tiệm cận đứng.
lim_x→+∞ x² / (x + 1) = +∞ và lim_x→-∞ x² / (x + 1) = +∞.
Không có tiệm cận ngang.
Để tìm tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức: x² / (x + 1) = x - 1 + 1 / (x + 1).
lim_x→+∞ [x² / (x + 1) - (x - 1)] / x = lim_x→+∞ 1 / (x(x + 1)) = 0.
Vậy, y = x - 1 là tiệm cận xiên.

5. Ứng dụng của đường tiệm cận

Đường tiệm cận giúp ta:

Vẽ đồ thị hàm số chính xác hơn.
Phân tích hành vi của hàm số khi x hoặc y tiến đến vô cùng.
Giải các bài toán liên quan đến giới hạn và đồ thị hàm số.

6. Bài tập luyện tập

Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về đường tiệm cận:

Tìm đường tiệm cận của hàm số y = (x - 3) / (x + 2).
Tìm đường tiệm cận của hàm số y = (x² + 1) / (x - 1).
Tìm đường tiệm cận của hàm số y = (2x) / (x² + 1).

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!