Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 của giaibaitoan.com. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 trang 26, 27, 28 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Khảo sát hàm số (y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d(a ne 0))
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 28 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = - 2{x^3} - 3{x^2} + 1\)
b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\)
Phương pháp giải:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (nếu có và dễ tìm), ...
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) \(y = - 2{x^3} - 3{x^2} + 1\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(y' = - 6{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 0\end{array} \right.\)
Trên các khoảng (\( - \infty \); -1), (0; \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-1; 0) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và \({y_{cd}} = 1\)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{ct}} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - 2{x^3} - 3{x^2} + 1) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - 2{x^3} - 3{x^2} + 1) = - \infty \)
Khi x = 0 thì y = 1 nên (0; 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow - 2{x^3} - 3{x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (-1; 0) và (\(\frac{1}{2}\); 0)
b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(y' = 3{x^2} + 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
\(y' \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\)nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Hàm số không có cực trị
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1) = + \infty \)
Khi x = 0 thì y = 1 nên (0; 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1; 0)
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 28 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = - 2{x^3} - 3{x^2} + 1\)
b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\)
Phương pháp giải:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (nếu có và dễ tìm), ...
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) \(y = - 2{x^3} - 3{x^2} + 1\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(y' = - 6{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 0\end{array} \right.\)
Trên các khoảng (\( - \infty \); -1), (0; \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-1; 0) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và \({y_{cd}} = 1\)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{ct}} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - 2{x^3} - 3{x^2} + 1) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - 2{x^3} - 3{x^2} + 1) = - \infty \)
Khi x = 0 thì y = 1 nên (0; 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow - 2{x^3} - 3{x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (-1; 0) và (\(\frac{1}{2}\); 0)
b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(y' = 3{x^2} + 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
\(y' \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\)nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Hàm số không có cực trị
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1) = + \infty \)
Khi x = 0 thì y = 1 nên (0; 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1; 0)
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về giới hạn của hàm số. Đây là một trong những khái niệm nền tảng quan trọng trong chương trình Toán học lớp 12, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu và giải quyết các bài toán về đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của chúng.
Mục 2 bao gồm các nội dung chính sau:
Trang 26 SGK Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo chứa các bài tập vận dụng kiến thức về khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh:
Ví dụ, bài tập 1 yêu cầu tính giới hạn của hàm số f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) khi x tiến tới 1. Để giải bài tập này, ta có thể phân tích tử số thành nhân tử và rút gọn biểu thức, sau đó thay x = 1 vào biểu thức rút gọn để tìm giới hạn.
Trang 27 SGK Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo tập trung vào các bài tập về giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh:
Ví dụ, bài tập 2 yêu cầu tính giới hạn của hàm số f(x) = (2x + 1)/(x - 3) khi x tiến tới vô cùng. Để giải bài tập này, ta có thể chia cả tử số và mẫu số cho x, sau đó tính giới hạn của thương số.
Trang 28 SGK Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo chứa các bài tập tổng hợp về giới hạn, bao gồm cả các dạng giới hạn đặc biệt và các ứng dụng của giới hạn. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh:
Ví dụ, bài tập 3 yêu cầu tính giới hạn của hàm số f(x) = (√(x + 1) - 2)/(x - 3) khi x tiến tới 3. Để giải bài tập này, ta có thể nhân cả tử số và mẫu số với liên hợp của tử số, sau đó rút gọn biểu thức và tính giới hạn.
Để giải tốt các bài tập về giới hạn, các em cần:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các lời khuyên trên, các em sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập trong mục 2 trang 26, 27, 28 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
