Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và chính xác cho các bài tập Toán 12 tập 2. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài tập 3 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 theo chương trình Chân trời sáng tạo.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn. Vì vậy, chúng tôi đã biên soạn lời giải một cách dễ hiểu, kèm theo các bước giải chi tiết để giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho tứ diện (ABCD) có các đỉnh (Aleft( {4;0;2} right)), (Bleft( {0;5;1} right)), (Cleft( {4; - 1;3} right)), (Dleft( {3; - 1;5} right)). a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (left( {ABC} right)) và (left( {ABD} right)). b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (left( P right)) đi qua cạnh (BC) và song song với cạnh (AD).
Đề bài
Cho tứ diện \(ABCD\) có các đỉnh \(A\left( {4;0;2} \right)\), \(B\left( {0;5;1} \right)\), \(C\left( {4; - 1;3} \right)\), \(D\left( {3; - 1;5} \right)\).
a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\).
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua cạnh \(BC\) và song song với cạnh \(AD\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) nên sẽ nhận \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) làm một cặp vectơ chỉ phương. Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\), rồi viết phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(D\) nên sẽ nhận \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \) làm một cặp vectơ chỉ phương. Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( {ABD} \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]\), rồi viết phương trình mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\).
b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua cạnh \(BC\) và song song với cạnh \(AD\) nên có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AD} \). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} } \right]\), rồi viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Lời giải chi tiết
a) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {4;0;2} \right)\), \(B\left( {0;5;1} \right)\), \(C\left( {4; - 1;3} \right)\) nên sẽ nhận \(\overrightarrow {AB} \left( { - 4;5; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} \left( {0; - 1;1} \right)\) làm một cặp vectơ chỉ phương. Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là
\(\overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {5.1 - \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right);\left( { - 1} \right).0 - \left( { - 4} \right).1;\left( { - 4} \right).\left( { - 1} \right) - 5.0} \right) = \left( {4;4;4} \right).\)
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là
\(4\left( {x - 4} \right) + 4\left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 6 = 0\)
Mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {4;0;2} \right)\), \(B\left( {0;5;1} \right)\), \(D\left( {3; - 1;5} \right)\) nên sẽ nhận \(\overrightarrow {AB} \left( { - 4;5; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AD} \left( { - 1; - 1;3} \right)\) làm một cặp vectơ chỉ phương. Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) là
\(\overrightarrow {{n_{\left( {ABD} \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {5.3 - \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right);\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) - \left( { - 4} \right).3;\left( { - 4} \right).\left( { - 1} \right) - 5.\left( { - 1} \right)} \right) = \left( {14;13;9} \right)\)
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) là:
\(14\left( {x - 4} \right) + 13\left( {y - 0} \right) + 9\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 14x + 13y + 9z - 74 = 0.\)
b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua cạnh \(BC\) và song song với cạnh \(AD\), và do \(ABCD\) là tứ diện nên \(\overrightarrow {BC} \left( {4; - 6;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AD} \left( { - 1; - 1;3} \right)\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( P \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
\(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {\left( { - 6} \right).3 - 2.\left( { - 1} \right);2.\left( { - 1} \right) - 4.3;4.\left( { - 1} \right) - \left( { - 6} \right).\left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 16; - 14; - 10} \right)\)
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
\( - 16\left( {x - 0} \right) - 14\left( {y - 5} \right) - 10\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 8x + 7y + 5z - 40 = 0.\)
Bài tập 3 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo thuộc chủ đề về đạo hàm của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế, cụ thể là tìm đạo hàm của hàm số và phân tích các tính chất của đạo hàm.
Bài tập 3 bao gồm các câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh:
Để tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng và quy tắc đạo hàm của lũy thừa:
f'(x) = (x^3)' - 3(x^2)' + 2(x)' - (1)'
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 - 0
Vậy, f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
Để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, ta xét dấu của đạo hàm f'(x) = 3x^2 - 6x + 2.
Giải phương trình f'(x) = 0, ta được:
3x^2 - 6x + 2 = 0
x = (6 ± √(36 - 4*3*2)) / (2*3)
x = (6 ± √12) / 6
x = (6 ± 2√3) / 6
x = 1 ± √3 / 3
Vậy, phương trình có hai nghiệm x1 = 1 - √3 / 3 và x2 = 1 + √3 / 3.
Ta lập bảng xét dấu f'(x):
| x | -∞ | 1 - √3 / 3 | 1 + √3 / 3 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1 - √3 / 3) và (1 + √3 / 3; +∞), nghịch biến trên khoảng (1 - √3 / 3; 1 + √3 / 3).
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 - √3 / 3, giá trị cực đại là:
f(1 - √3 / 3) = (1 - √3 / 3)^3 - 3(1 - √3 / 3)^2 + 2(1 - √3 / 3) - 1
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 + √3 / 3, giá trị cực tiểu là:
f(1 + √3 / 3) = (1 + √3 / 3)^3 - 3(1 + √3 / 3)^2 + 2(1 + √3 / 3) - 1
Bài tập 3 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc phân tích hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, bạn đã có thể tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
