Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài tập 12 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo.
Chúng tôi cam kết cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và giúp bạn nắm vững kiến thức Toán học.
Cho bốn điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;1;0} \right)\), \(C\left( {0;0;1} \right)\), \(D\left( { - 2;1; - 1} \right)\). a) Chứng minh \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) là bốn đỉnh của một hình chóp. b) Tìm góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\). c) Tính độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\).
Đề bài
Cho bốn điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;1;0} \right)\), \(C\left( {0;0;1} \right)\), \(D\left( { - 2;1; - 1} \right)\).
a) Chứng minh \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) là bốn đỉnh của một hình chóp.
b) Tìm góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).
c) Tính độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Để chứng minh \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) là bốn đỉnh của một hình chóp, viết phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), rồi chỉ ra điểm \(A\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).
b) Xác định toạ độ của các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) , \(\overrightarrow {CD} \) lần lượt của các đường thẳng \(AB\) và \(CD\), sau đó sử dụng công thức \(\cos \left( {AB,CD} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\).
c) Độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\) chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), sau đó sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian.
Lời giải chi tiết
a) Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) đi qua \(B\left( {0;1;0} \right)\), \(C\left( {0;0;1} \right)\), \(D\left( { - 2;1; - 1} \right)\) nên nó có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 1;1} \right)\) và \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 2;0; - 1} \right)\). Vậy một vectơ pháp tuyến của \(\left( {BCD} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {1; - 2; - 2} \right)\). Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là \(1\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 0} \right) - 2\left( {z - 1} \right) = 0\), hay \(x - 2y - 2z + 2 = 0\).
Thay toạ độ điểm \(A\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), ta thấy không thoả mãn, do \(1 - 2.0 - 2.0 + 2 = 3 \ne 0\).
Vậy \(A\) không thuộc \(\left( {BCD} \right)\), suy ra \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) không đồng phẳng. Điều này cũng có nghĩa 4 điểm trên là 4 đỉnh của một hình chóp.
b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 2} \right)\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(AB\) và \(CD\).
Ta có \(\cos \left( {AB,CD} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 1.1 + 0.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Suy ra \(\left( {AB,CD} \right) = {45^o}\).
c) Ta có độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\) chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Khoảng cách đó bằng:
\(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2.0 - 2.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 1\)
Bài tập 12 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến tốc độ thay đổi của đại lượng. Bài tập này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm như đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
Bài tập 12 thường có dạng như sau: Một vật thể chuyển động theo một quỹ đạo được mô tả bởi hàm số vị trí s(t). Yêu cầu là tìm vận tốc và gia tốc của vật thể tại một thời điểm cụ thể, hoặc xác định thời điểm vật thể đạt vận tốc cực đại/cực tiểu.
Ví dụ: Một vật thể chuyển động theo hàm số vị trí s(t) = t3 - 6t2 + 9t + 2 (trong đó s tính bằng mét và t tính bằng giây). Hãy tìm vận tốc và gia tốc của vật thể tại thời điểm t = 2 giây.
Giải:
Vậy, tại thời điểm t = 2 giây, vận tốc của vật thể là -3 m/s và gia tốc là 0 m/s2.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Ngoài ra, bạn có thể tìm kiếm thêm các bài tập trực tuyến hoặc tham khảo các tài liệu ôn thi THPT Quốc gia.
Bài tập 12 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, bạn đã có thể tự tin giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.
