Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 3 trang 46, 47, 48 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán.
Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào các kiến thức về...
Tích của một số với một vectơ
Trả lời câu hỏi Thực hành 7 trang 47 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có M là trung điểm của BB′ (Hình 19). Đặt \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow c \). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b - \overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow c \)
Phương pháp giải:
Áp dụng quy tắc hiệu, quy tắc hình bình hành và 2 vecto bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Gọi N là trung điểm AA’.
Ta có: \(\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AM} \)
Hay \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b - \overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow c \).
Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 46 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hình hộp ABCD. A′B′C′D′ có AC′ và A′C cắt nhau tại O (Hình 17).
a) Tìm vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).
b) Cho biết mối quan hệ giữa vectơ tìm được ở câu a) và vectơ \(\overrightarrow {AO} \).
Phương pháp giải:
Áp dụng quy tắc hình hộp.
Lời giải chi tiết:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).
b) \(\overrightarrow {AC'} = 2\overrightarrow {AO} \).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 48 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích SA, SB, SC, SD sao cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat {ASC} = 60^\circ \) (Hình 21).
a) Sử dụng công thức \(\overrightarrow P = m\overrightarrow g \) trong đó \(\overrightarrow g \) là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn 10\(m/{s^2}\), tìm độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P \) tác động lên chiếc đèn chùm.
b) Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích.
Phương pháp giải:
a) Áp dụng công thức tính trọng lực.
b) Để chiếc đèn cân bằng thì hợp lực của 4 sợi xích phải cân bằng với trọng lực. Dựa vào tính chất của hình chóp tứ giác đều và quy tắc hình bình hành để tìm hợp lực đó rồi tìm ra lực căng của mỗi sợi xích.
Lời giải chi tiết:
a) Độ lớn trọng lực tác động lên đèn chùm là: P = mg = 5.10 = 50 (N).
b) Giả sử đèn chùm được minh họa như hình vẽ trên.
Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = - 4\overrightarrow {OS} = 4\overrightarrow {SO} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} } \right| = \left| {4\overrightarrow {SO} } \right| = 4SO\).
Trọng lượng của vật là \(P = 50\) (N).
Suy ra \(4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = P = 50\). Do đó \(SO = \frac{{50}}{4} = \frac{{25}}{2}\).
Vì \(\widehat {ASC} = {60^o}\) suy ra \(\widehat {ASO} = {30^o}\).
Xét tam giác SAO vuông tại O:
\(\cos \widehat {ASO} = \frac{{SO}}{{SA}} \Leftrightarrow SA = \frac{{SO}}{{\cos \widehat {ASO}}} = \frac{{\frac{{25}}{2}}}{{\cos {{30}^o}}} = \frac{{25\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy lực tác dụng lên mỗi sợi dây xích bằng \(\frac{{25\sqrt 3 }}{3}\) (N).
Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 46 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hình hộp ABCD. A′B′C′D′ có AC′ và A′C cắt nhau tại O (Hình 17).
a) Tìm vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).
b) Cho biết mối quan hệ giữa vectơ tìm được ở câu a) và vectơ \(\overrightarrow {AO} \).
Phương pháp giải:
Áp dụng quy tắc hình hộp.
Lời giải chi tiết:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).
b) \(\overrightarrow {AC'} = 2\overrightarrow {AO} \).
Trả lời câu hỏi Thực hành 7 trang 47 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có M là trung điểm của BB′ (Hình 19). Đặt \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow c \). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b - \overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow c \)
Phương pháp giải:
Áp dụng quy tắc hiệu, quy tắc hình bình hành và 2 vecto bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Gọi N là trung điểm AA’.
Ta có: \(\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AM} \)
Hay \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b - \overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow c \).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 48 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích SA, SB, SC, SD sao cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat {ASC} = 60^\circ \) (Hình 21).
a) Sử dụng công thức \(\overrightarrow P = m\overrightarrow g \) trong đó \(\overrightarrow g \) là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn 10\(m/{s^2}\), tìm độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P \) tác động lên chiếc đèn chùm.
b) Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích.
Phương pháp giải:
a) Áp dụng công thức tính trọng lực.
b) Để chiếc đèn cân bằng thì hợp lực của 4 sợi xích phải cân bằng với trọng lực. Dựa vào tính chất của hình chóp tứ giác đều và quy tắc hình bình hành để tìm hợp lực đó rồi tìm ra lực căng của mỗi sợi xích.
Lời giải chi tiết:
a) Độ lớn trọng lực tác động lên đèn chùm là: P = mg = 5.10 = 50 (N).
b) Giả sử đèn chùm được minh họa như hình vẽ trên.
Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = - 4\overrightarrow {OS} = 4\overrightarrow {SO} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} } \right| = \left| {4\overrightarrow {SO} } \right| = 4SO\).
Trọng lượng của vật là \(P = 50\) (N).
Suy ra \(4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = P = 50\). Do đó \(SO = \frac{{50}}{4} = \frac{{25}}{2}\).
Vì \(\widehat {ASC} = {60^o}\) suy ra \(\widehat {ASO} = {30^o}\).
Xét tam giác SAO vuông tại O:
\(\cos \widehat {ASO} = \frac{{SO}}{{SA}} \Leftrightarrow SA = \frac{{SO}}{{\cos \widehat {ASO}}} = \frac{{\frac{{25}}{2}}}{{\cos {{30}^o}}} = \frac{{25\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy lực tác dụng lên mỗi sợi dây xích bằng \(\frac{{25\sqrt 3 }}{3}\) (N).
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và áp dụng linh hoạt các công thức, định lý đã học. Việc giải các bài tập trong mục này không chỉ giúp củng cố kiến thức mà còn rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề, tư duy logic và khả năng vận dụng toán học vào thực tế.
Để hiểu rõ hơn về Mục 3, chúng ta cần xác định nội dung chính mà nó đề cập đến. Thông thường, đây có thể là một trong các chủ đề sau:
Để giải các bài tập trong Mục 3 một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các phương pháp sau:
Dưới đây là lời giải chi tiết các bài tập trang 46, 47, 48 SGK Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo:
Đề bài: ...
Lời giải: ...
Đề bài: ...
Lời giải: ...
Đề bài: ...
Lời giải: ...
Trong quá trình giải bài tập, học sinh cần lưu ý một số điểm sau:
Kiến thức trong Mục 3 có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học kỹ thuật. Ví dụ, hàm số bậc hai được sử dụng để mô tả quỹ đạo của vật ném, bất phương trình bậc hai được sử dụng để giải quyết các bài toán tối ưu hóa, và đạo hàm được sử dụng để tính tốc độ thay đổi của các đại lượng vật lý.
Việc giải các bài tập trong Mục 3 trang 46, 47, 48 SGK Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo là một bước quan trọng trong quá trình học tập môn Toán của các em. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán và đạt kết quả tốt trong học tập.
