Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài tập 12 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng cao, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Trong không gian (Oxyz), cho hình lăng trụ đứng (OBC.O'B'C') có đáy là tam giác (OBC) vuông tại (O). Cho biết (Bleft( {3;0;0} right)), (Cleft( {0;1;0} right)), (O'left( {0;0;2} right)). Tính góc giữa: a) hai đường thẳng (BO') và (B'C). b) hai mặt phẳng (left( {O'BC} right)) và (left( {OBC} right)). c) đường thẳng (B'C) và mặt phẳng (left( {O'BC} right)).
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' có đáy là tam giác OBC vuông tại O. Cho biết B(3;0;0), C(0;1;0), O'(0;0;2). Tính góc giữa:
a) Hai đường thẳng BO' và B'C.
b) Hai mặt phẳng (O'BC) và (OBC).
c) Đường thẳng B'C và mặt phẳng (O'BC).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chỉ ra \(\overrightarrow {BO'} \) và \(\overrightarrow {B'C} \) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(BO'\) và \(B'C\), sau đó sử dụng công thức \(\cos \left( {BO',B'C} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BO} ',\overrightarrow {B'C} } \right)} \right|\).
b) Với mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\), ta cần chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương, rồi tính tích có hướng để lần lượt tìm ra vectơ pháp tuyến \(\vec n\).
Với mặt phẳng \(\left( {OBC} \right)\), chỉ ra rằng \(\overrightarrow {OO'} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
Từ đó suy ra \(\cos \left( {\left( {O'BC} \right),\left( {OBC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OO'} ,\vec n} \right)} \right|\).
c) Từ câu a và b, ta có \(\overrightarrow {B'C} \) là một vectơ chỉ phương của \(B'C\), \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\). Suy ra \(\sin \left( {B'C,\left( {O'BC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {B'C} ,\vec n} \right)} \right|\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có toạ độ các điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {3;0;0} \right)\), \(C\left( {0;1;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;2} \right)\). Suy ra \(B'\left( {3;0;2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {BO'} = \left( { - 3;0;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BO'\) và \(\overrightarrow {B'C} = \left( { - 3;1; - 2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(B'C\). Suy ra:
\(\cos \left( {BO',B'C} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BO} ',\overrightarrow {B'C} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) + 0.1 + 2.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {182} }}\)
Từ đó \(\left( {BO',B'C} \right) \approx {68^o}15'\).
b) Mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 3;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BO'} = \left( { - 3;0;2} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( {O'BC} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BO'} } \right] = \left( {2;6;3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {OBC} \right)\) có \(OO' \bot \left( {OBC} \right)\) nên \(\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( {OBC} \right)\).
Suy ra
\(\cos \left( {\left( {O'BC} \right),\left( {OBC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OO'} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + 6.0 + 3.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{7}\).
Vậy \(\left( {\left( {O'BC} \right),\left( {OBC} \right)} \right) \approx {64^o}37'\).
c) Ta có \(\overrightarrow {B'C} = \left( { - 3;1; - 2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(B'C\).
Ta có \(\vec n = \left( {2;6;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\). Suy ra
\(\sin \left( {B'C,\left( {O'BC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {B'C} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right).2 + 1.6 + \left( { - 2} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{49}}\)
Vậy \(\left( {B'C,\left( {O'BC} \right)} \right) \approx {13^o}15'\).
Bài tập 12 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo thuộc chủ đề về đạo hàm của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế, cụ thể là tìm đạo hàm của hàm số và sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số.
Bài tập 12 bao gồm các câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh:
Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Ta có: f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
Để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, ta xét dấu của f'(x).
f'(x) = 0 khi 3x^2 - 6x + 2 = 0. Giải phương trình này, ta được x = (3 ± √3)/3.
Xét dấu f'(x) trên các khoảng (-∞, (3 - √3)/3), ((3 - √3)/3, (3 + √3)/3), ((3 + √3)/3, +∞), ta thấy:
Hàm số đạt cực đại tại x = (3 - √3)/3, giá trị cực đại là f((3 - √3)/3) = ...
Hàm số đạt cực tiểu tại x = (3 + √3)/3, giá trị cực tiểu là f((3 + √3)/3) = ...
Dựa vào các kết quả trên, ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1.
Bài tập 12 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài tập tương tự.
