Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số - Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chương 1 trong sách Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để nghiên cứu và phân tích các hàm số. Đây là một phần kiến thức nền tảng quan trọng, giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về tính chất của hàm số và khả năng ứng dụng của đạo hàm trong nhiều lĩnh vực khác.

I. Khái niệm cơ bản về đạo hàm

Đạo hàm của một hàm số tại một điểm là tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó. Đạo hàm được ký hiệu là f'(x) hoặc dy/dx. Việc tính đạo hàm đòi hỏi học sinh phải nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản như hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit.

II. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số bao gồm các bước sau:

1. Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
2. Tính đạo hàm cấp nhất: f'(x)
3. Tìm điểm dừng: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng không.
4. Xác định dấu của đạo hàm cấp nhất: Xác định khoảng mà f'(x) > 0 (hàm số đồng biến) và khoảng mà f'(x) < 0 (hàm số nghịch biến).
5. Tìm cực trị của hàm số: Dựa vào dấu của đạo hàm cấp nhất để xác định các điểm cực đại và cực tiểu.
6. Tính đạo hàm cấp hai: f''(x)
7. Tìm điểm uốn: Giải phương trình f''(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm cấp hai bằng không.
8. Xác định dấu của đạo hàm cấp hai: Xác định khoảng mà f''(x) > 0 (hàm số lồi trên) và khoảng mà f''(x) < 0 (hàm số lõm dưới).
9. Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin đã thu thập được để vẽ đồ thị hàm số.

III. Các dạng bài tập thường gặp

• Bài tập tính đạo hàm: Yêu cầu tính đạo hàm của các hàm số phức tạp.
• Bài tập tìm cực trị: Yêu cầu tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
• Bài tập tìm điểm uốn: Yêu cầu tìm các điểm uốn của hàm số.
• Bài tập khảo sát hàm số: Yêu cầu khảo sát hàm số hoàn chỉnh, bao gồm tập xác định, đạo hàm, cực trị, điểm uốn và vẽ đồ thị.

IV. Mẹo giải bài tập

Để giải các bài tập về ứng dụng đạo hàm một cách hiệu quả, các em cần:

• Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm.
• Hiểu rõ các khái niệm về cực trị, điểm uốn và tính đơn điệu của hàm số.
• Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
• Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra kết quả.

V. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x³ - 3x² + 2

Giải:

1. Tập xác định: D = R
2. Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x
3. Điểm dừng: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
4. ... (tiếp tục phân tích và kết luận)

Ví dụ 2: Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số y = x⁴ - 4x² + 3

Giải:

1. ... (tương tự như ví dụ 1)

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập về ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Chúc các em học tốt!