Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài tập 4 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}) b) (y = 2x - frac{1}{{1 - 2x}})
Đề bài
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}\)
b) \(y = 2x - \frac{1}{{1 - 2x}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết
a) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)
\(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
Trên các khoảng (\( - \infty \); 0), (2; \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (0; 2) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = - \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{{x^2} - x}} = 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} - x) = - 1\) nên y = x - 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = - \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Khi x = 0 thì y = -2 nên (0;-2) là giao điểm của y với trục Oy
b) \(y = 2x - \frac{1}{{1 - 2x}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ \frac{1}{2}\} \)
\(y' = 2 - \frac{2}{{{{(1 - 2x)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)
Trên các khoảng (\( - \infty \); 0), (1; \( + \infty \)) thì y' > 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (0; \(\frac{1}{2}\)) và (\(\frac{1}{2}\); 1) thì y' < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (2x - \frac{1}{{1 - 2x}}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (2x - \frac{1}{{1 - 2x}}) = - \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (2 - \frac{1}{{x - 2{x^2}}}) = 2;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (2x - \frac{1}{{1 - 2x}} - 2x) = 0\) nên y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} (2x - \frac{1}{{1 - 2x}}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} (2x - \frac{1}{{1 - 2x}}) = - \infty \) nên x = \(\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Khi x = 0 thì y = -1 nên (0;-1) là giao điểm của y với trục Oy
Bài tập 4 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn một bên, giới hạn tại một điểm và các tính chất của giới hạn để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải bài tập là rất quan trọng để đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Bài tập 4 bao gồm một số câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh tính giới hạn của hàm số tại một điểm cho trước. Các hàm số có thể là hàm đa thức, hàm hữu tỉ, hoặc các hàm số khác. Để giải quyết bài tập này, học sinh cần:
Có nhiều phương pháp để giải bài tập về giới hạn, tùy thuộc vào dạng hàm số và yêu cầu của bài toán. Dưới đây là một số phương pháp phổ biến:
Ví dụ: Tính limx→2 (x2 - 4) / (x - 2)
Giải:
Ta có: (x2 - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2)
Khi x ≠ 2, ta có thể rút gọn biểu thức thành: x + 2
Vậy, limx→2 (x2 - 4) / (x - 2) = limx→2 (x + 2) = 2 + 2 = 4
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về giới hạn, bạn có thể tự giải các bài tập sau:
Bài tập 4 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm giới hạn và các phương pháp tính giới hạn. Hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết bài tập này và các bài tập tương tự.
