Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12 tập 2 theo chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải quyết các bài tập trong mục 1 trang 6,7 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc học Toán đôi khi có thể gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải rõ ràng, logic và dễ tiếp thu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Khái niệm nguyên hàm
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 6 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x\) xác định trên \(\mathbb{R}\). Tìm một hàm số \(F\left( x \right)\) sao cho \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức đạo hàm được học ở lớp 11 để tìm một hàm số có đạo hàm là \(2x\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\left( {{x^2}} \right)' = 2x\), nên \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một hàm số cần tìm.
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 7 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng \(F\left( x \right) = {e^{2x + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2{e^{2x + 1}}\) trên \(\mathbb{R}\).
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm \(F'\left( x \right)\) và so sánh với \(f\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {{e^{2x + 1}}} \right)' = 2{e^{2x + 1}} = f\left( x \right)\), nên \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 6 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
a) Chứng minh rằng \(F\left( x \right) = {x^3}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Với \(C\) là hằng số tuỳ ý, hàm số \(H\left( x \right) = F\left( x \right) + C\) có là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) không?
c) Giả sử \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Tìm đạo hàm của hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\)?
Phương pháp giải:
a) Để chứng minh \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\), ta cần chỉ ra rằng \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
b) Để kiểm tra hàm số \(H\left( x \right)\) có là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) hay không, ta cần tính đạo hàm \(H'\left( x \right)\) và so sánh với \(f\left( x \right)\).
c) Tính đạo hàm \(\left[ {G\left( x \right) - F\left( x \right)} \right]'\) và rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(F'\left( x \right) = 3{x^2} = f\left( x \right)\), nên \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Ta có \(H'\left( x \right) = \left[ {F\left( x \right) + C} \right]' = F'\left( x \right) + C' = f\left( x \right)\) (do \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)), nên \(H\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
c) Do \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\), ta có \(G'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
Ta có \(\left[ {G\left( x \right) - F\left( x \right)} \right]' = G'\left( x \right) - F'\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( x \right) = 0\).
Vậy đạo hàm của hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\) bằng 0, tức là \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\) là một hằng số (do đạo hàm của một hằng số thì bằng 0).
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 6 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x\) xác định trên \(\mathbb{R}\). Tìm một hàm số \(F\left( x \right)\) sao cho \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức đạo hàm được học ở lớp 11 để tìm một hàm số có đạo hàm là \(2x\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\left( {{x^2}} \right)' = 2x\), nên \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một hàm số cần tìm.
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 6 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
a) Chứng minh rằng \(F\left( x \right) = {x^3}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Với \(C\) là hằng số tuỳ ý, hàm số \(H\left( x \right) = F\left( x \right) + C\) có là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) không?
c) Giả sử \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Tìm đạo hàm của hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\)?
Phương pháp giải:
a) Để chứng minh \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\), ta cần chỉ ra rằng \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
b) Để kiểm tra hàm số \(H\left( x \right)\) có là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) hay không, ta cần tính đạo hàm \(H'\left( x \right)\) và so sánh với \(f\left( x \right)\).
c) Tính đạo hàm \(\left[ {G\left( x \right) - F\left( x \right)} \right]'\) và rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(F'\left( x \right) = 3{x^2} = f\left( x \right)\), nên \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Ta có \(H'\left( x \right) = \left[ {F\left( x \right) + C} \right]' = F'\left( x \right) + C' = f\left( x \right)\) (do \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)), nên \(H\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
c) Do \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\), ta có \(G'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
Ta có \(\left[ {G\left( x \right) - F\left( x \right)} \right]' = G'\left( x \right) - F'\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( x \right) = 0\).
Vậy đạo hàm của hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\) bằng 0, tức là \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\) là một hằng số (do đạo hàm của một hằng số thì bằng 0).
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 7 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng \(F\left( x \right) = {e^{2x + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2{e^{2x + 1}}\) trên \(\mathbb{R}\).
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm \(F'\left( x \right)\) và so sánh với \(f\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {{e^{2x + 1}}} \right)' = 2{e^{2x + 1}} = f\left( x \right)\), nên \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo tập trung vào kiến thức về Đạo hàm của hàm số. Đây là một trong những chủ đề quan trọng bậc nhất trong chương trình Toán 12, là nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán liên quan đến cực trị, đơn điệu và ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác.
Để giải tốt các bài tập trong Mục 1, bạn cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm. Dưới đây là một số phương pháp giải bài tập thường gặp:
Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1.
Lời giải:
f'(x) = 3x2 + 4x - 5
Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = sin(x) + cos(x).
Lời giải:
g'(x) = cos(x) - sin(x)
Bài 3: Tìm đạo hàm của hàm số h(x) = ex + ln(x).
Lời giải:
h'(x) = ex + 1/x
Bài 4: Cho hàm số y = x2 - 4x + 3. Tìm các điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với trục hoành.
Lời giải:
y' = 2x - 4. Để tiếp tuyến song song với trục hoành, ta cần y' = 0. Suy ra 2x - 4 = 0, hay x = 2. Vậy, điểm cần tìm là (2, -1).
Bài 5: Tìm đạo hàm của hàm số y = (x2 + 1)/(x - 1).
Lời giải:
y' = [(2x)(x-1) - (x2 + 1)(1)] / (x-1)2 = (x2 - 2x - 1) / (x-1)2
Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập về đạo hàm trong SGK Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
