Chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo đi sâu vào kiến thức về Vecto, một khái niệm quan trọng trong hình học không gian. Việc nắm vững lý thuyết và các phép toán liên quan là yếu tố then chốt để giải quyết các bài toán phức tạp.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, bài giảng chi tiết và bài tập đa dạng, giúp bạn tự tin chinh phục môn Toán 12.
Bài 1. Vecto và các phép toán trong không gian 1. Vecto trong không gian
1. Vecto trong không gian
|
2. Tổng và hiệu của hai vecto
a) Tổng của hai vecto
Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \). Lấy một điểm A bất kì và các điểm B,C sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \). Khi đó, vecto \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \), kí hiệu là \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) Phép lấy tổng của hai vecto được gọi là phép cộng vecto
|
b) Hiệu của hai vecto
Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \). Hiệu của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \) là tổng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và vecto đối của \(\mathop b\limits^ \to \), kí hiệu là \(\mathop a\limits^ \to - \mathop b\limits^ \to \) Phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto Với ba điểm O, A, B trong không gian, ta có: \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} \) (Quy tắc hiệu) |
3. Tích của một số với một vecto
Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vecto \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vecto, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \), được xác định như sau: - Cùng hướng với vecto \(\mathop a\limits^ \to \) nếu k > 0; ngược hướng với vecto \(\mathop a\limits^ \to \) nếu k < 0 - Có độ dài bằng \(\left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|\) Phép lấy tích của một số với một vecto được gọi là phép nhân một số với một vecto |
4. Tích vô hướng của hai vecto
a) Góc giữa hai vecto trong không gian
| Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \) khác \(\mathop 0\limits^ \to \). Lấy một điểm O bất kỳ và gọi A, B là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \). Khi đó, góc \(\widehat {AOB}({0^ \circ } \le \widehat {AOB} \le {180^ \circ })\) được gọi là góc giữa hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \), kí hiệu \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) |
b) Tích vô hướng của hai vecto
Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \) khác \(\mathop 0\limits^ \to \). Tích vô hướng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) |
Chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo dành sự quan tâm lớn đến phần hình học không gian, trong đó, lý thuyết Vecto đóng vai trò then chốt. Hiểu rõ về Vecto không chỉ giúp giải quyết các bài toán hình học mà còn là nền tảng cho các môn học nâng cao hơn. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về lý thuyết Vecto và các phép toán liên quan trong không gian, theo chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo.
Vecto là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi độ dài và hướng. Trong không gian, một Vecto được biểu diễn bằng một bộ ba số thực, gọi là tọa độ của Vecto. Ví dụ, Vecto a = (x; y; z) biểu diễn một Vecto trong không gian Oxyz.
Tích vô hướng của hai Vecto a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) được tính bằng công thức: a.b = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Ứng dụng của tích vô hướng:
Tích có hướng của hai Vecto a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) là một Vecto c = a x b, có hướng vuông góc với cả hai Vecto a và b, và độ dài bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai Vecto đó.
Công thức tính tích có hướng:
a x b = (y1z2 - z1y2; z1x2 - x1z2; x1y2 - y1x2)
Ứng dụng của tích có hướng:
Bài 1: Cho A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6). Tìm tọa độ của Vecto AB.
Giải: Vecto AB = (4-1; 5-2; 6-3) = (3; 3; 3).
Bài 2: Cho a = (1; -2; 3) và b = (2; 1; -1). Tính tích vô hướng của a và b.
Giải:a.b = (1)(2) + (-2)(1) + (3)(-1) = 2 - 2 - 3 = -3.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Lý thuyết Vecto và các phép toán trong không gian Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
