Bài 29. Công thức cộng xác suất

Bài 29 trong chương trình Toán 11 - Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào một trong những công cụ quan trọng nhất trong lý thuyết xác suất: công thức cộng xác suất. Công thức này cho phép chúng ta tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau, không loại trừ lẫn nhau.

1. Khái niệm về biến cố độc lập và biến cố loại trừ lẫn nhau

Trước khi đi sâu vào công thức cộng xác suất, chúng ta cần hiểu rõ hai khái niệm cơ bản: biến cố độc lập và biến cố loại trừ lẫn nhau.

Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Công thức xác suất cho biến cố độc lập là: P(A và B) = P(A) * P(B).
Biến cố loại trừ lẫn nhau: Hai biến cố A và B được gọi là loại trừ lẫn nhau nếu chúng không thể xảy ra đồng thời. Nói cách khác, nếu A xảy ra thì B không thể xảy ra, và ngược lại.

2. Công thức cộng xác suất

Công thức cộng xác suất được sử dụng để tính xác suất của biến cố A hoặc B xảy ra (A∪B). Công thức này có hai dạng, tùy thuộc vào việc hai biến cố A và B có loại trừ lẫn nhau hay không.

a. Trường hợp hai biến cố A và B loại trừ lẫn nhau

Nếu A và B là hai biến cố loại trừ lẫn nhau, thì xác suất của A hoặc B xảy ra được tính như sau:

P(A∪B) = P(A) + P(B)

b. Trường hợp hai biến cố A và B không loại trừ lẫn nhau

Nếu A và B không phải là hai biến cố loại trừ lẫn nhau, thì xác suất của A hoặc B xảy ra được tính như sau:

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Trong đó, P(A∩B) là xác suất của biến cố A và B xảy ra đồng thời.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất một quả bóng đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố lấy được ít nhất một quả bóng đỏ. Khi đó, biến cố đối của A là A^c: lấy được cả hai quả bóng xanh.

P(A^c) = (C₃²) / (C₈²) = 3/28

Suy ra, P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - 3/28 = 25/28

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc 6 mặt một lần. Tính xác suất để mặt xuất hiện là số chẵn hoặc số chia hết cho 3.

Giải:

Gọi A là biến cố mặt xuất hiện là số chẵn. A = {2, 4, 6} => P(A) = 3/6 = 1/2

Gọi B là biến cố mặt xuất hiện là số chia hết cho 3. B = {3, 6} => P(B) = 2/6 = 1/3

A∩B = {6} => P(A∩B) = 1/6

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3

4. Bài tập luyện tập

Một túi đựng 4 quả bóng trắng, 3 quả bóng đen. Rút ngẫu nhiên 2 quả. Tính xác suất để 2 quả cùng màu.
Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc là 7.
Một lớp có 20 học sinh, trong đó có 12 nam và 8 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để chọn được 2 nam và 1 nữ.

5. Kết luận

Công thức cộng xác suất là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất. Việc nắm vững công thức và hiểu rõ các khái niệm liên quan sẽ giúp các em tự tin hơn trong việc áp dụng vào thực tế. Chúc các em học tốt!