Lý thuyết Công thức cộng xác suất - Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Công thức cộng xác suất - Toán 11 Kết nối tri thức

Trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức, phần xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Một trong những công cụ cơ bản và hữu ích nhất trong phần này là Công thức cộng xác suất.

1. Định nghĩa và Điều kiện áp dụng

Công thức cộng xác suất được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau, không tương thích (tức là không thể xảy ra đồng thời).

Định nghĩa: Nếu A và B là hai biến cố không tương thích, thì xác suất của biến cố A hoặc B xảy ra (ký hiệu là P(A∪B)) được tính bằng tổng xác suất của A và B:

P(A∪B) = P(A) + P(B)

Điều kiện áp dụng: Công thức này chỉ áp dụng khi A và B là hai biến cố không tương thích. Hai biến cố A và B được gọi là không tương thích nếu chúng không thể xảy ra đồng thời, tức là A∩B = ∅ (tập rỗng).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp. Tính xác suất để quả bóng được lấy ra là màu đỏ hoặc màu xanh.

Giải:

• Gọi A là biến cố “quả bóng được lấy ra là màu đỏ”. P(A) = 5/8
• Gọi B là biến cố “quả bóng được lấy ra là màu xanh”. P(B) = 3/8
• Vì quả bóng không thể vừa màu đỏ vừa màu xanh, nên A và B là hai biến cố không tương thích.
• Vậy, xác suất để quả bóng được lấy ra là màu đỏ hoặc màu xanh là: P(A∪B) = P(A) + P(B) = 5/8 + 3/8 = 1

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc 6 mặt. Tính xác suất để mặt xuất hiện là số chẵn hoặc số lẻ.

Giải:

• Gọi A là biến cố “mặt xuất hiện là số chẵn”. P(A) = 3/6 = 1/2
• Gọi B là biến cố “mặt xuất hiện là số lẻ”. P(B) = 3/6 = 1/2
• Vì mặt xúc xắc không thể vừa chẵn vừa lẻ, nên A và B là hai biến cố không tương thích.
• Vậy, xác suất để mặt xuất hiện là số chẵn hoặc số lẻ là: P(A∪B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/2 = 1

3. Mở rộng: Công thức cộng xác suất cho nhiều biến cố

Công thức cộng xác suất có thể được mở rộng cho nhiều biến cố không tương thích. Nếu A₁, A₂, ..., A_n là các biến cố không tương thích, thì xác suất của biến cố A₁ hoặc A₂ hoặc ... hoặc A_n xảy ra được tính bằng:

P(A₁∪A₂∪...∪A_n) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(A_n)

4. Bài tập áp dụng

Bài 1: Một túi đựng 8 viên bi, trong đó có 3 viên bi trắng, 2 viên bi đen và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ túi. Tính xác suất để viên bi được lấy ra là màu trắng hoặc màu đen.

Bài 2: Gieo hai con xúc xắc 6 mặt. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc là 7 hoặc 11.

5. Lưu ý quan trọng

Khi áp dụng công thức cộng xác suất, điều quan trọng nhất là phải xác định chính xác xem các biến cố có phải là không tương thích hay không. Nếu các biến cố không phải là không tương thích, thì công thức cộng xác suất đơn giản P(A∪B) = P(A) + P(B) sẽ không đúng. Trong trường hợp đó, cần sử dụng công thức cộng xác suất tổng quát:

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Trong đó, P(A∩B) là xác suất của biến cố A và B cùng xảy ra.

6. Kết luận

Công thức cộng xác suất là một công cụ quan trọng trong việc tính toán xác suất của các biến cố. Việc nắm vững định nghĩa, điều kiện áp dụng và các ví dụ minh họa sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.