Giải Bài 5.25 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Bài 5.25 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Bài 5.25 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế.

Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) có tính chất (left| {{u_n} - 1} right| < frac{2}{n}). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tính chất \(\left| {{u_n} - 1} \right| < \frac{2}{n}\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 5.25 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức 1

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn

Lời giải chi tiết

\(\left| {{u_n} - 1} \right| < \frac{2}{n}\)

\( - \frac{2}{n} < {u_n} - 1 < \frac{2}{n}\)

\( - \frac{2}{n} + 1 < {u_n} < \frac{2}{n} + 1\)

\(\lim \left( { - \frac{2}{n} + 1} \right) = 1;\;\;\lim \left( {\frac{2}{n} + 1} \right) = 1\)

\( \Rightarrow \lim {u_n} = 1\)

Chinh phục đỉnh cao Toán 11 và đặt nền móng vững chắc cho cánh cửa Đại học với nội dung Bài 5.25 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức trong chuyên mục toán lớp 11 trên nền tảng toán math! Bộ bài tập toán trung học phổ thông, được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Bài 5.25 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 5.25 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập

Bài tập yêu cầu tính đạo hàm của hàm số và sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số. Cụ thể, bài tập có thể yêu cầu:

Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
Tìm các điểm tới hạn của hàm số, tức là các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số.

Lời giải chi tiết

Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Định nghĩa đạo hàm: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x được ký hiệu là f'(x) và được định nghĩa là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi độ biến thiên của đối số tiến tới 0.
Các quy tắc tính đạo hàm: Có nhiều quy tắc tính đạo hàm khác nhau, chẳng hạn như quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp, và các hàm số đặc biệt như hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit.
Điều kiện cực trị: Một điểm x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu f'(x₀) = 0 và f''(x₀) < 0. Một điểm x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu f'(x₀) = 0 và f''(x₀) > 0.

Ví dụ minh họa:

Giả sử hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Để tìm cực đại và cực tiểu của hàm số này, chúng ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x): f'(x) = 3x² - 6x.
Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được 3x² - 6x = 0, suy ra x = 0 hoặc x = 2.
Tính đạo hàm bậc hai f''(x): f''(x) = 6x - 6.
Xác định cực đại và cực tiểu: Tại x = 0, f''(0) = -6 < 0, do đó x = 0 là điểm cực đại. Tại x = 2, f''(2) = 6 > 0, do đó x = 2 là điểm cực tiểu.
Tính giá trị cực đại và cực tiểu: f(0) = 2, do đó điểm cực đại là (0, 2). f(2) = -2, do đó điểm cực tiểu là (2, -2).

Lưu ý khi giải bài tập

Khi giải bài tập về đạo hàm, cần lưu ý những điều sau:

Nắm vững định nghĩa và các quy tắc tính đạo hàm.
Kiểm tra kỹ các điều kiện của bài toán để đảm bảo rằng các phép toán thực hiện là hợp lệ.
Sử dụng đạo hàm bậc hai để xác định cực đại và cực tiểu của hàm số.
Vẽ đồ thị của hàm số để kiểm tra lại kết quả.

Ứng dụng của đạo hàm

Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác, chẳng hạn như:

Tìm cực trị của hàm số: Đạo hàm được sử dụng để tìm cực đại và cực tiểu của hàm số, giúp giải quyết các bài toán tối ưu hóa.
Nghiên cứu sự biến thiên của hàm số: Đạo hàm được sử dụng để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số, giúp hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số.
Tính tốc độ thay đổi: Đạo hàm được sử dụng để tính tốc độ thay đổi của một đại lượng so với một đại lượng khác.
Giải các bài toán vật lý: Đạo hàm được sử dụng để mô tả vận tốc, gia tốc, và các đại lượng liên quan đến chuyển động.

Hy vọng lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập Bài 5.25 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Chúc các em học tập tốt!