Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Cấp số cộng, một phần quan trọng trong chương trình SGK Toán 11 Kết nối tri thức.
Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản, công thức và các ví dụ minh họa để bạn hiểu rõ về cấp số cộng và ứng dụng của nó trong giải toán.
1. Định nghĩa
1. Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi
\({u_n} = {u_{n - 1}} + d,n \ge 2\)
* Nhận xét: Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của 2 sô hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:
\({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\left( {k \ge 2} \right)\)
2. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu là \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định theo công thức \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d,n \ge 2.\)
3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)với công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó
\({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\)
Cấp số cộng là một dãy số đặc biệt, trong đó sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Hằng số này được gọi là công sai của cấp số cộng.
Một dãy số (un) được gọi là cấp số cộng nếu có một số công sai d sao cho:
Số u1 được gọi là số hạng đầu của cấp số cộng.
Số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức:
un = u1 + (n - 1)d
Một số tính chất quan trọng của cấp số cộng:
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính theo công thức:
Sn = (n/2)(u1 + un) = (n/2)[2u1 + (n - 1)d]
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 3. Tìm số hạng thứ 5 và tổng của 5 số hạng đầu tiên.
Giải:
Ví dụ 2: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng (an) biết a1 = 1 và a3 = 5.
Giải:
Ta có a3 = a1 + 2d => 5 = 1 + 2d => d = 2
Vậy a10 = a1 + 9d = 1 + 9*2 = 19
Cấp số cộng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Để củng cố kiến thức về cấp số cộng, bạn có thể thực hành các bài tập sau:
Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Cấp số cộng - SGK Toán 11 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
