Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 2 trang 114, 115 SGK Toán 11 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập toán học.
Bài tập trong mục này tập trung vào các kiến thức về phép biến hình, đặc biệt là phép tịnh tiến và phép quay.
Cho hàm số (fleft( x right) = 1 + frac{2}{{x - 1}}) có đồ thị như Hình 5.4.Giả sử (left( {{x_n}} right)) là dãy số sao cho ({x_n} > 1,;{x_n} to ; + infty ). Tính (fleft( {{x_n}} right)) và (mathop {{rm{lim}}}limits_{n to + infty } fleft( {{x_n}} right))
Video hướng dẫn giải
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \frac{2}{{x - 1}}\) có đồ thị như Hình 5.4.
Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số sao cho \({x_n} > 1,\;{x_n} \to \; + \infty \). Tính \(f\left( {{x_n}} \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\).
Phương pháp giải:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\). Ta có hàm số \(f\left( x \right)\) có giới hạn là số L khi \(x \to + \infty \) nếu dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kỳ, \({x_n} > a\) và \({x_n} \to + \infty \), ta có \(f\left( {{x_n}} \right) \to L,\) kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\;\)hay \(f\left( x \right) \to L\) khi \(x \to + \infty \)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ;b} \right)\). Ta có hàm số \(f\left( x \right)\) có giới hạn là số L khi \(x \to - \infty \) nếu dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kỳ, \({x_n} < b\) và \({x_n} \to - \infty \), ta có \(f\left( {{x_n}} \right) \to L,\) kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L\;\)hay \(f\left( x \right) \to L\) khi \(x \to - \infty \).
Lời giải chi tiết:
\(f\left( {{x_n}} \right) = 1 + \frac{2}{{{x_n} - 1}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{2}{{{x_n} - 1}}} \right) = 1\).
Video hướng dẫn giải
Tính: \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2} }}{{x + 1}}\).
Phương pháp giải:
\(a\sqrt b = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {{a^2}b} \;\;\;\;\;\;\;\;\;a \ge 0}\\{ - \sqrt {{a^2}b} \;\;\;\;\;a < 0}\end{array}} \right.\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = 1\end{array}\)
Video hướng dẫn giải
Cho tam giác vuông OAB với \(A = \left( {a;0} \right)\) và \(B = \left( {0;1} \right)\) như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h.
a) Tính h theo a,.
b) Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?
c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?
Phương pháp giải:
Áp dụng định lý Pytago để tính h theo a.
Tính giới hạn.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(AB = \sqrt {{a^2} + {1^1}} ,\;\;\;AB \times OH = OB \times OA\)
\( \Rightarrow h \times \sqrt {{a^2} + {1^2}} = a \Rightarrow h = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {1^2}} }}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{a \to 0} \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {1^2}\;} }} = \mathop {\lim }\limits_{a \to 0} \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{a^2}}}} }} = 0\)
Vì vậy khi A dịch chuyển về O thì điểm H dịch chuyển về gần A hơn, và h dần về 0
c) \(\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{a^2}}}} }} = 1\)
Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H dịch chuyển về phía điểm B và h dần về 1.
Mục 2 của SGK Toán 11 tập 1 chương trình Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu sâu hơn về các phép biến hình, đặc biệt là phép tịnh tiến và phép quay. Các bài tập trong mục này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, tọa độ để xác định ảnh của một điểm, một đường thẳng hoặc một hình qua phép biến hình. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng này là nền tảng quan trọng cho việc học tập các chương trình toán học ở các lớp trên.
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định ảnh của một điểm, một đường thẳng hoặc một hình qua phép tịnh tiến cho trước. Để giải bài tập này, học sinh cần hiểu rõ định nghĩa của phép tịnh tiến và cách sử dụng vectơ tịnh tiến để tìm tọa độ của ảnh.
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định ảnh của một điểm, một đường thẳng hoặc một hình qua phép quay cho trước. Để giải bài tập này, học sinh cần hiểu rõ định nghĩa của phép quay và cách sử dụng góc quay và tâm quay để tìm tọa độ của ảnh.
Bài tập này yêu cầu học sinh kết hợp các phép biến hình (tịnh tiến, quay) để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Để giải bài tập này, học sinh cần hiểu rõ tính chất của các phép biến hình và cách áp dụng chúng một cách linh hoạt.
Các phép biến hình có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống, như:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng về phép biến hình, học sinh nên luyện tập thêm các bài tập khác trong SGK và các tài liệu tham khảo. Ngoài ra, học sinh có thể tìm kiếm các bài giảng trực tuyến hoặc tham gia các khóa học toán online để được hướng dẫn chi tiết hơn.
Việc giải bài tập mục 2 trang 114, 115 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức là cơ hội tốt để học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán và hiểu sâu hơn về các phép biến hình. Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết và phương pháp giải hiệu quả mà giaibaitoan.com cung cấp, các em sẽ tự tin chinh phục các bài tập toán học và đạt kết quả tốt trong học tập.
