Bài 7.41 thuộc chương trình Toán 11 tập 2, sách Kết nối tri thức, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số. Bài tập này thường gặp trong các kỳ thi và kiểm tra, do đó việc nắm vững phương pháp giải là rất quan trọng.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn hiểu rõ bản chất của bài toán và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại \(S\) và \((SAD) \bot (ABCD)\).
a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}h.S\)
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
Lời giải chi tiết
a) Trong (SAD) kẻ \(SE \bot AD\)
Mà \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD \Rightarrow SE \bot \left( {ABCD} \right)\)
Xét tam giác SAD vuông cân tại S có
\(SE \bot AD\)
\( \Rightarrow \) E là trung điểm của AD
\( \Rightarrow SE = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2}\)
Diện tích hình vuông ABCD là \({S_{ABCD}} = {a^2}\)
Thể tích khối chóp là \(V = \frac{1}{3}SE.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}\)
b) Trong (ABCD) kẻ EF // AB mà \(AB \bot BC \Rightarrow EF \bot BC\)
mà \(SE \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SEF} \right);BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SEF} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)
\(\left( {SEF} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SF\)
Trong (SEF) kẻ \(EG \bot SF\)
\( \Rightarrow EG \bot \left( {SBC} \right)\)
Ta có AD // BC nên AD // (SBC)
\( \Rightarrow d\left( {AD,SC} \right) = d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {E,\left( {SBC} \right)} \right) = EG\)
Vì ABCD là hình vuông và EF // AB nên EF = AB = a
Xét tam giác SEF vuông tại E có
\(\frac{1}{{E{G^2}}} = \frac{1}{{S{E^2}}} + \frac{1}{{E{F^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow EG = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\)
Vậy \(d\left( {AD,SC} \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\)
Bài 7.41 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu của hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Đề bài yêu cầu xét tính đơn điệu của hàm số sau:
Để xét tính đơn điệu của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2, ta thực hiện các bước sau:
f'(x) = 3x2 - 6x
Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm tới hạn:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 và x = 2 là các điểm tới hạn.
Ta xét các khoảng sau:
Dựa vào dấu của đạo hàm, ta có thể kết luận:
Khi giải các bài toán về tính đơn điệu của hàm số, cần thực hiện đầy đủ các bước: tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn, xét dấu đạo hàm và kết luận. Việc bỏ sót bất kỳ bước nào có thể dẫn đến kết quả sai.
Để hiểu rõ hơn về cách xét tính đơn điệu của hàm số, ta xét một ví dụ khác:
Cho hàm số g(x) = x2 - 4x + 3. Hãy xét tính đơn điệu của hàm số này.
Lời giải:
g'(x) = 2x - 4
Giải phương trình g'(x) = 0:
2x - 4 = 0
x = 2
Kết luận: Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (-∞; 2) và đồng biến trên khoảng (2; +∞).
Bài 7.41 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập điển hình về ứng dụng của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu của hàm số. Việc nắm vững phương pháp giải bài tập này sẽ giúp bạn tự tin hơn khi giải các bài toán tương tự và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, bạn đã hiểu rõ cách giải Bài 7.41 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
