Bài học này cung cấp kiến thức nền tảng về hai đường thẳng vuông góc trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu điều kiện để hai đường thẳng vuông góc, các tính chất quan trọng và ứng dụng của lý thuyết này trong giải toán.
Giaibaitoan.com mang đến cho bạn một phương pháp học toán hiệu quả với các bài giảng được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo nhiều ví dụ minh họa và bài tập thực hành.
1. Góc giữa hai đường thẳng
1. Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu (m, n), là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.
Chú ý:
- Để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, ta có thể lấy một điểm O thuộc đường thẳng a và qua đó kẻ đường thẳng b’ song song với b. Khi đó \(\left( {a,b} \right) = \left( {a,b'} \right)\).
- Với hai đường thẳng a, b bất kì: \({0^0} \le \left( {a,b} \right) \le {90^0}\).
2. Hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu \(a \bot b\), nếu góc giữa chúng bằng \({90^0}\).
Trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức, kiến thức về hai đường thẳng vuông góc đóng vai trò quan trọng, là nền tảng cho việc học các chủ đề tiếp theo như đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, vectơ, và các ứng dụng trong hình học giải tích.
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi chúng cắt nhau và góc giữa chúng bằng 90 độ. Điều kiện để hai đường thẳng (d1) và (d2) vuông góc được xác định thông qua tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng. Cụ thể:
Hai đường thẳng vuông góc có những tính chất quan trọng sau:
Lý thuyết hai đường thẳng vuông góc có nhiều ứng dụng trong giải toán, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến hình học giải tích và vectơ. Một số ứng dụng cụ thể:
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng (d1): x + 2y - 3 = 0 và (d2): 2x - y + 1 = 0. Chứng minh rằng (d1) ⊥ (d2).
Giải:
Vectơ pháp tuyến của (d1) là n1 = (1; 2). Vectơ pháp tuyến của (d2) là n2 = (2; -1). Ta có n1.n2 = 1*2 + 2*(-1) = 0. Vậy (d1) ⊥ (d2).
Ví dụ 2: Tìm m để đường thẳng (d): mx - y + 2 = 0 vuông góc với đường thẳng (d'): x + my - 1 = 0.
Giải:
Vectơ pháp tuyến của (d) là n1 = (m; -1). Vectơ pháp tuyến của (d') là n2 = (1; m). Để (d) ⊥ (d') thì n1.n2 = 0, tức là m*1 + (-1)*m = 0. Phương trình này luôn đúng với mọi giá trị của m. Vậy (d) ⊥ (d') với mọi m.
Để củng cố kiến thức về lý thuyết hai đường thẳng vuông góc, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, bạn đã nắm vững lý thuyết về hai đường thẳng vuông góc trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Hãy luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
