Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 2 trang 97, 98 SGK Toán 11 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu cùng với phương pháp giải bài tập một cách khoa học, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Bài tập trong mục 2 tập trung vào các kiến thức về phép biến hóa affine, bao gồm các dạng bài tập về tìm ảnh của điểm, đường thẳng qua phép biến hóa affine, và xác định phép biến hóa affine khi biết ảnh của một số điểm.
Quan sát Hình 4.56a và trả lời các câu hỏi sau: a) Hình chiếu O’ của điểm O có nằm trên đoạn A’C’ hay không? b) Hình chiếu của hai song cửa AB và CD như thế nào với nhau? c) Hình chiếu O’ của điểm O có phải là trung điểm của đoạn A’C’ hay
Video hướng dẫn giải
Quan sát Hình 4.56a và trả lời các câu hỏi sau:
a) Hình chiếu O’ của điểm O có nằm trên đoạn A’C’ hay không?
b) Hình chiếu của hai song cửa AB và CD như thế nào với nhau?
c) Hình chiếu O’ của điểm O có phải là trung điểm của đoạn A’C’ hay không?
Phương pháp giải:
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Hình chiếu O’ của điểm O nằm trên đoạn A’C’.
b) Hình chiếu song song của AB và CD song song với AB và CD.
c) Hình chiếu O’ của điểm O là trung điểm của đoạn A’C’.
Video hướng dẫn giải
Chứng minh rằng hình chiếu song song của một hình thang là một hình thang (H.4.61).
Phương pháp giải:
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Lời giải chi tiết:
Vì ABCD là hình thang nên AB // CD, do đó hình chiếu của AB là A'B' song song với hình chiếu của CD là C'D'.
Tứ giác A'B'C'D' có A'B' // C'D' nên nó là hình thang.
Video hướng dẫn giải
Một phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’, biến M thành M’. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến đường trung bình của tam giác ABC thành đường trung bình của tam giác A’B’C’.
Phương pháp giải:
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Lời giải chi tiết:
Gọi N là trung điểm của AC. Khi đó MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Vì M là trung điểm của BC nên B, M, C thẳng hàng theo thứ tự đó và \(\frac{{BM}}{{MC}} = 1\).
Do vậy, B’, M’, C’ thẳng hàng theo thứ tự đó và \(\frac{{B'M'}}{{M'C'}} = 1\).
Tức M’ là trung điểm của B’C’.
Tương tự, N’ là trung điểm của A’C’.
Vậy M’N’ là đường trung bình của tam giác A’B’C’.
Mục 2 của SGK Toán 11 tập 1 chương trình Kết nối tri thức giới thiệu về phép biến hóa affine, một khái niệm quan trọng trong hình học. Để giải các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững định nghĩa, tính chất của phép biến hóa affine và các công thức liên quan.
Phép biến hóa affine là một phép biến đổi hình học bảo toàn tính thẳng hàng và tỷ số của các đoạn thẳng. Nói cách khác, nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì ba điểm A', B', C' (ảnh của A, B, C qua phép biến hóa affine) cũng thẳng hàng và AB/BC = A'B'/B'C'. Phép biến hóa affine có thể được biểu diễn bằng một ma trận affine.
Bài tập 1 yêu cầu tìm ảnh của điểm M(2; -1) qua phép biến hóa affine f(x; y) = (x + 2y; 3x - y). Để giải bài tập này, ta thay x = 2 và y = -1 vào công thức của phép biến hóa affine:
f(2; -1) = (2 + 2*(-1); 3*2 - (-1)) = (0; 7)
Vậy ảnh của điểm M(2; -1) qua phép biến hóa affine f là M'(0; 7).
Bài tập 2 yêu cầu tìm ảnh của đường thẳng d: x + y - 1 = 0 qua phép biến hóa affine f(x; y) = (x + 2y; 3x - y). Để giải bài tập này, ta xét hai điểm A và B thuộc đường thẳng d. Ví dụ, ta có thể chọn A(1; 0) và B(0; 1). Sau đó, ta tìm ảnh của A và B qua phép biến hóa affine f, và tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A' và B'.
f(1; 0) = (1 + 2*0; 3*1 - 0) = (1; 3)
f(0; 1) = (0 + 2*1; 3*0 - 1) = (2; -1)
Phương trình đường thẳng đi qua A'(1; 3) và B'(2; -1) là:
(y - 3) / (x - 1) = (-1 - 3) / (2 - 1) = -4
y - 3 = -4(x - 1)
y - 3 = -4x + 4
4x + y - 7 = 0
Vậy ảnh của đường thẳng d: x + y - 1 = 0 qua phép biến hóa affine f là d': 4x + y - 7 = 0.
Bài tập 3 yêu cầu xác định phép biến hóa affine f biết rằng f(1; 0) = (2; 1) và f(0; 1) = (1; 3). Giả sử phép biến hóa affine f có dạng f(x; y) = (ax + by + c; dx + ey + f). Ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình này, ta tìm được a, b, c, d, e, f và xác định được phép biến hóa affine f.
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi học tập và làm bài tập về phép biến hóa affine trong chương trình Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức. Chúc các em học tốt!
