Bài 2.9 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Giaibaitoan.com cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả. Chúng tôi luôn cập nhật nhanh chóng và chính xác các lời giải bài tập Toán 11.
Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (left( {{u_n}} right)) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng ({u_n} = {u_1} + left( {n - 1} right)d) a) ({u_n} = 3 + 5n;) b) ({u_n} = 6n - 4); c) ({u_1} = 2,;{u_n} = {u_{n - 1}} + n); d) ({u_1} = 2,;{u_n} = {u_{n - 1}} + 3)
Đề bài
Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
a) \({u_n} = 3 + 5n;\)
b) \({u_n} = 6n - 4\);
c) \({u_1} = 2,\;{u_n} = {u_{n - 1}} + n\);
d) \({u_1} = 2,\;{u_n} = {u_{n - 1}} + 3\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng, hãy chứng minh hiệu hai số hạng liên tiếp \({u_n} - {u_{n - 1}}\) không đổi.
Từ đó, xác định được công sai d và số hạng tổng quát.
Lời giải chi tiết
a) \({u_1} = 8;\;\;\;\;{u_2} = 13;\;\;\;\;\;{u_3} = 18;\;\;\;\;\;{u_4} = 23;\;\;\;\;\;{u_5} = 28\).
Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = 3 + 5n - \left[ {3 + 5\left( {n - 1} \right)} \right] = 5,\;\forall n \ge 2\).
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({u_1} = 8\) và công sai \(d = 5\).
Số hạng tổng quát: \({u_n} = 8 + 5\left( {n - 1} \right)\).
b) \({u_1} = 2;\;\;\;\;{u_2} = 8;\;\;\;\;{u_3} = 14;\;\;\;\;\;{u_4} = 20;\;\;\;\;\;{u_5} = 26\).
Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = 6n - 4 - \left[ {6\left( {n - 1} \right) - 4} \right] = 6,\;\forall n \ge 2\).
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({u_1} = 2\) và công sai \(d = 6\).
Số hạng tổng quát: \({u_n} = 2 + 6\left( {n - 1} \right)\).
c) \({u_1} = 2;\;\;\;\;{u_2} = 4;\;\;\;\;\;{u_3} = 7;\;\;\;\;\;\;{u_4} = 11;\;\;\;\;\;\;\;{u_5} = 16\)
Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = n,\;\) n biến động.
Suy ra đây không phải là cấp số cộng.
d) \({u_1} = 2;\;\;\;\;{u_2} = 5;\;\;\;\;\;\;{u_3} = 8;\;\;\;\;\;\;{u_4} = 11;\;\;\;\;\;\;\;{u_5} = 14\)
Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = 3\).
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({u_1} = 2\) và công sai \(d = 3\).
Số hạng tổng quát: \({u_n} = 2 + 3\left( {n - 1} \right),\;\forall n \ge 2\).
Bài 2.9 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng của chúng. Dưới đây là lời giải chi tiết bài tập này:
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Tìm vectơ AM theo hai vectơ AB và AC.
Ta có M là trung điểm của BC, nên BM = MC. Do đó, BC = 2BM.
Áp dụng quy tắc cộng vectơ, ta có:
Thay BC = 2BM vào phương trình (2), ta được:
2BM = AC - AB
BM = (AC - AB) / 2
Áp dụng quy tắc cộng vectơ, ta có:
AM = AB + BM
Thay BM = (AC - AB) / 2 vào phương trình trên, ta được:
AM = AB + (AC - AB) / 2
AM = (2AB + AC - AB) / 2
AM = (AB + AC) / 2
Vậy, AM = (AB + AC) / 2.
Lời giải trên dựa trên việc sử dụng quy tắc cộng vectơ và tính chất trung điểm của đoạn thẳng. Việc hiểu rõ các quy tắc này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ trong hình học.
Giả sử A(0;0), B(1;0), C(0;1). Khi đó:
Kiểm tra lại:
(AB + AC) / 2 = ((1;0) + (0;1)) / 2 = (1;1) / 2 = (1/2; 1/2) = AM
Khi giải các bài toán về vectơ, cần chú ý đến việc xác định đúng hướng và độ dài của các vectơ. Việc vẽ hình minh họa cũng rất hữu ích để hình dung rõ hơn về bài toán.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:
Bài 2.9 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình học Toán 11. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập này sẽ giúp bạn tự tin hơn khi giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
Giaibaitoan.com hy vọng rằng lời giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài tập và học tập hiệu quả hơn.
