Bài 7.19 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học Toán 11 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hình chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.
Đề bài
Cho hình chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.
a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.
b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong mặt phẳng vuông góc vào giao tuyến hai mặt phẳng tại cùng 1 điểm.
Lời giải chi tiết
Vì hình chóp S.ABC đều, gọi G là hình chiếu của S trên (ABC) nên G là tâm của đáy ABC là tam giác đều do đó G cũng là trọng tâm hay trực tâm của tam giác ABC.
Gọi AG cắt BC tại D
a) Ta có A là hình chiếu của A trên (ABC)
G là hình chiếu của S trên (ABC)
\( \Rightarrow \) AG là hình chiếu của SA trên (ABC)
\( \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA,AG} \right) = \widehat {SAG}\)
Tam giác ABC đều cạnh a nên \(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Mà G là trọng tâm nên \(AG = \frac{2}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Xét tam giác SAG vuông tại G có
\(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {{b^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} \)
\(\sin \widehat {SAG} = \frac{{SG}}{{SA}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} :b = \sqrt {1 - \frac{{{a^2}}}{{3{b^2}}}} \)
b) Ta có \(AG \bot BC,SG \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right);SD \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot SD\)
\(BC \bot AD\) (G là trực tâm)
\(\begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\ \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {AD,SD} \right) = \widehat {SDA}\end{array}\)
Mà G là trọng tâm nên \(GD = \frac{1}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
Xét tam giác SGD vuông tại G có
\(\tan \widehat {SGD} = \frac{{SG}}{{GD}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} :\frac{{a\sqrt 3 }}{6} = \frac{6}{{a\sqrt 3 }}.\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} \)
Bài 7.19 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi của đại lượng. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm và công thức về đạo hàm, bao gồm đạo hàm của hàm số, quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, chúng ta cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp một hàm số hoặc một tình huống thực tế, và yêu cầu chúng ta tính đạo hàm, tìm cực trị, hoặc giải các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi.
Để giải Bài 7.19 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp sau:
(Phần này sẽ chứa lời giải chi tiết của bài tập, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng, và kết quả cuối cùng. Ví dụ:)
Giả sử đề bài yêu cầu tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x.
Ta có: f'(x) = 3x2 - 6x + 2.
Để tìm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x + 2 = 0
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:
x1 = (6 + √(36 - 24)) / 6 = 1 + √3/3
x2 = (6 - √(36 - 24)) / 6 = 1 - √3/3
Vậy hàm số có hai điểm cực trị tại x1 = 1 + √3/3 và x2 = 1 - √3/3.
Khi giải Bài 7.19 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, học sinh có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Bài 7.19 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Bằng cách nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, học sinh có thể tự tin đối mặt với các bài toán tương tự trong các kỳ thi và trong cuộc sống.
