Bài 24. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 24 thuộc chương VII: Quan hệ vuông góc trong không gian, là một trong những bài học quan trọng của chương trình Hình học không gian lớp 11. Bài học này giúp học sinh nắm vững các khái niệm cơ bản về phép chiếu vuông góc, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, và ứng dụng chúng vào giải các bài toán thực tế.

I. Phép chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng

1. Định nghĩa: Phép chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) là điểm H sao cho MH vuông góc với (P).

2. Tính chất: Với mọi điểm M không thuộc (P), có duy nhất một điểm H trên (P) sao cho MH vuông góc với (P).

II. Phép chiếu vuông góc của một đường thẳng lên một mặt phẳng

1. Định nghĩa: Phép chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P) là tập hợp các điểm là hình chiếu vuông góc của các điểm trên d lên (P).

2. Tính chất:

• Nếu d vuông góc với (P) thì phép chiếu của d lên (P) là một điểm.
• Nếu d cắt (P) tại một điểm thì phép chiếu của d lên (P) là đường thẳng d.
• Nếu d song song với (P) thì phép chiếu của d lên (P) là một đường thẳng song song với d.

III. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1. Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P).

2. Tính chất:

• Nếu d vuông góc với (P) thì góc giữa d và (P) bằng 0°.
• Nếu d song song với (P) thì góc giữa d và (P) bằng 90°.

3. Công thức tính góc: Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó:

sin α =

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

1. Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD). Suy ra H là tâm của hình vuông ABCD.
2. Xét tam giác SCH vuông tại H, ta có: SH = a, HC =
3. Suy ra tan
4. Vậy góc giữa SC và (ABCD) là

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, các em nên làm thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập này trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online như giaibaitoan.com.

VI. Kết luận

Bài 24 đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng về phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Hy vọng rằng, sau bài học này, các em sẽ có thể áp dụng những kiến thức này vào giải các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả.

Chúc các em học tập tốt!