Chào mừng bạn đến với bài học về Phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Đây là một phần kiến thức quan trọng trong hình học không gian, giúp bạn hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các đối tượng hình học trong không gian ba chiều.
Bài học này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết, công thức và các ví dụ minh họa để bạn có thể nắm vững kiến thức một cách dễ dàng. Chúng tôi cũng sẽ cung cấp các bài tập thực hành để bạn có thể rèn luyện kỹ năng giải toán.
1. Phép chiếu vuông góc
1. Phép chiếu vuông góc
Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) theo phương \(\Delta \) vuông góc với (P) được gọi là phép chiều vuông góc lên mặt phẳng (P).
Chú ý:
- Vì phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên nó có mọi tính chất của phép chiếu song song.
- Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) còn được gọi đơn giản là phép chiếu lên mặt phẳng (P). Hình chiếu vuông góc H’của hình H trên mặt phẳng (P) còn được gọi là hình chiếu của H trên mặt phẳng (P).
Định lí ba đường vuông góc:
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) không vuông góc với nhau. Khi đó, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a khi và chỉ khi b vuông góc với hình chiếu vuông góc a’ của a trên (P).
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng \({90^0}\).
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Chú ý: Nếu \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) thì \({0^0} \le \alpha \le {90^0}\).
Nhận xét: Nếu điểm A có hình chiếu H trên mặt phẳng (P). Lấy điểm O thuộc mặt phẳng (P), O không trung H. Khi đó góc giữa đường thẳng AO và mặt phẳng (P) bằng góc AOH.
Trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức, phần Hình học không gian đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy không gian và khả năng giải quyết vấn đề. Một trong những chủ đề cốt lõi của phần này là lý thuyết về Phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, công thức và các ví dụ minh họa để giúp học sinh nắm vững kiến thức.
1. Định nghĩa: Phép chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) là điểm H sao cho MH vuông góc với (P).
2. Tính chất: Với mọi điểm M không thuộc (P), có duy nhất một điểm H trên (P) sao cho MH vuông góc với (P). MH được gọi là đường vuông góc kẻ từ M đến (P).
3. Ứng dụng: Phép chiếu vuông góc được sử dụng để xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, một yếu tố quan trọng trong nhiều bài toán hình học không gian.
1. Định nghĩa: Phép chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P) là tập hợp các điểm là hình chiếu vuông góc của mọi điểm trên d lên (P).
2. Tính chất:
1. Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P).
2. Tính chất: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ.
3. Công thức tính góc: Nếu d tạo với (P) một góc α thì sin α = d(M, (P)) / MD, trong đó M là một điểm bất kỳ trên d, D là hình chiếu của M lên (P), và d(M, (P)) là khoảng cách từ M đến (P).
1. Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng đó.
2. Tính chất: Góc giữa hai mặt phẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ.
3. Cách xác định góc:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).
Giải: Vì SA vuông góc với đáy ABCD nên góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là 90 độ.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và AB = BC = CA = a. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC).
Giải: Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC). Do SA = SB = SC nên H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có AH = BH = CH = a/√3. Trong tam giác SHA, ta có sin(góc giữa SA và (ABC)) = SH/SA = √(2/3). Do đó, góc giữa SA và (ABC) là arcsin(√(2/3)).
Lý thuyết về Phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học không gian. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và công thức sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong quá trình học tập và làm bài tập. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và đầy đủ về chủ đề này.
