Bài 7.32 thuộc chương trình Toán 11 tập 2, sách Kết nối tri thức, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số. Bài tập này giúp củng cố lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh 8dm, bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc
Đề bài
Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh 8dm, bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc, sau đó bác hàn các mép lại để được một chiếc thùng (không có nắp) như Hình 7.99.
a) Giải thích vì sao chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.
b) Tính cạnh bên của thùng.
c) Hỏi thùng có thể chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thể tích khối chóp cụt đều \(V = \frac{1}{3}.h.\left( {S + S' + \sqrt {S.S'} } \right)\)
Lời giải chi tiết
a) AB // A’B’ \( \Rightarrow \) AB // (A’B’C’D’), AD // A’D’ \( \Rightarrow \) AD // (A’B’C’D’)
Do đó (ABCD) // (A’B’C’D’).
Chiếc thùng có dạng hình chóp cụt vì khi bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc của tấm tôn vuông, sẽ tạo thành bốn tam giác vuông cân.
Vậy chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.
b) Cạnh bên của hình chóp cụt bằng \(\sqrt {\frac{9}{4} + \frac{{25}}{4}} = \frac{{\sqrt {34} }}{2}\left( {dm} \right)\)
c) Xét mặt chứa đường chéo của hình vuông, nó là hình thang cân có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp cụt và được \(h = \sqrt {\frac{{34}}{4} - \frac{{18}}{4}} = 2\left( {dm} \right)\)
Thể tích cần tìm là V = 42 lít.
Bài 7.32 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu của hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Bài 7.32 yêu cầu xét tính đơn điệu của hàm số sau:
f(x) = (x^2 - 4x + 3) / (x - 2)
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Hàm số f(x) xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0, tức là x - 2 ≠ 0, suy ra x ≠ 2. Vậy tập xác định của hàm số là D = R \ {2}.
Bước 2: Tính đạo hàm f'(x)
f'(x) = [(2x - 4)(x - 2) - (x^2 - 4x + 3)(1)] / (x - 2)^2
f'(x) = (2x^2 - 8x + 8 - x^2 + 4x - 3) / (x - 2)^2
f'(x) = (x^2 - 4x + 5) / (x - 2)^2
Bước 3: Xét dấu đạo hàm f'(x)
Xét tam thức x^2 - 4x + 5. Ta có biệt thức Δ = (-4)^2 - 4 * 1 * 5 = 16 - 20 = -4 < 0. Vì vậy, tam thức x^2 - 4x + 5 luôn dương với mọi x thuộc R.
Mẫu số (x - 2)^2 luôn dương với mọi x ≠ 2.
Do đó, f'(x) > 0 với mọi x thuộc D.
Bước 4: Kết luận về tính đơn điệu của hàm số
Vì f'(x) > 0 với mọi x thuộc D, hàm số f(x) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó, tức là đồng biến trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞).
Khi xét tính đơn điệu của hàm số, cần chú ý đến tập xác định của hàm số. Trong trường hợp này, hàm số không xác định tại x = 2, do đó cần xét tính đơn điệu trên từng khoảng xác định.
Việc tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm là bước quan trọng để xác định tính đơn điệu của hàm số. Cần thực hiện các bước này một cách cẩn thận và chính xác.
Đạo hàm là công cụ mạnh mẽ để xét tính đơn điệu của hàm số. Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng, hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó. Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng, hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng đó. Nếu f'(x) = 0 tại một điểm, điểm đó có thể là điểm cực trị của hàm số.
Việc nắm vững ứng dụng của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số và đồ thị hàm số.
Bài 7.32 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập điển hình về việc ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, bạn đã nắm vững phương pháp giải bài tập này và tự tin hơn trong việc học tập môn Toán.
