Bài 3.8 trang 69 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Bài 3.8 trang 69 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 3.8 trang 69 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập

Bài 3.8 yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:

• a) Tính đạo hàm f'(x).
• b) Tìm các điểm cực trị của hàm số.
• c) Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Tính đạo hàm f'(x)

Để tính đạo hàm f'(x), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm số đa thức:

f'(x) = 3x² - 6x

b) Tìm các điểm cực trị của hàm số

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2.

Để xác định xem các điểm này là điểm cực đại hay cực tiểu, ta xét dấu của đạo hàm bậc hai f''(x):

f''(x) = 6x - 6

Tại x = 0, f''(0) = -6 < 0, vậy x = 0 là điểm cực đại.

Tại x = 2, f''(2) = 6 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu.

Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị là:

• f(0) = 2
• f(2) = 8 - 12 + 2 = -2

Vậy, hàm số có điểm cực đại là (0; 2) và điểm cực tiểu là (2; -2).

c) Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Ta xét dấu của đạo hàm f'(x) = 3x(x - 2):

• Khi x < 0, f'(x) > 0, vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).
• Khi 0 < x < 2, f'(x) < 0, vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
• Khi x > 2, f'(x) > 0, vậy hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Kết luận

Thông qua việc giải bài tập 3.8 trang 69 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức, học sinh đã nắm vững kiến thức về đạo hàm, cách tìm điểm cực trị và xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Đây là những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình học Toán 11.

Mở rộng kiến thức

Để hiểu sâu hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, học sinh có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK và sách bài tập Toán 11. Ngoài ra, học sinh cũng có thể tìm hiểu thêm về các ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác như vật lý, kinh tế, và kỹ thuật.

Ví dụ minh họa thêm

Xét hàm số g(x) = x⁴ - 4x³ + 4x² + 1. Hãy tìm các điểm cực trị của hàm số này.

1. Tính đạo hàm g'(x) = 4x³ - 12x² + 8x.
2. Giải phương trình g'(x) = 0: 4x(x² - 3x + 2) = 0 => 4x(x - 1)(x - 2) = 0. Vậy x = 0, x = 1, x = 2.
3. Tính đạo hàm bậc hai g''(x) = 12x² - 24x + 8.
4. Xác định dấu của g''(x) tại các điểm cực trị:
• g''(0) = 8 > 0 => x = 0 là điểm cực tiểu.
• g''(1) = 12 - 24 + 8 = -4 < 0 => x = 1 là điểm cực đại.
• g''(2) = 48 - 48 + 8 = 8 > 0 => x = 2 là điểm cực tiểu.
5. Kết luận: Hàm số có điểm cực đại tại (1; 2) và hai điểm cực tiểu tại (0; 1) và (2; 1).

Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập 3.8 trang 69 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.