Lý thuyết Khoảng cách - Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Khoảng cách - Toán 11 Kết nối tri thức

Trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức, phần Lý thuyết Khoảng cách đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng kiến thức về hình học không gian. Nắm vững lý thuyết này giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian một cách chính xác và hiệu quả.

1. Khái niệm cơ bản về khoảng cách

Khoảng cách là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm. Trong không gian, chúng ta xét các loại khoảng cách sau:

• Khoảng cách giữa hai điểm: Được tính bằng công thức quen thuộc dựa trên tọa độ của hai điểm.
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Là độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó xuống đường thẳng.
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Là độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó xuống mặt phẳng.

2. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm M(x₀, y₀, z₀) và đường thẳng d có phương trình:

d: { x = x₁ + at y = y₁ + bt z = z₁ + ct }

Khoảng cách từ M đến d được tính theo công thức:

d(M, d) = √[((x₀ - x₁)b - (y₀ - y₁)a)² + ((x₀ - x₁)c - (z₀ - z₁)a)² + ((y₀ - y₁)c - (z₀ - z₁)b)²] / √(a² + b² + c²)

3. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm M(x₀, y₀, z₀) và mặt phẳng (P) có phương trình:

(P): Ax + By + Cz + D = 0

Khoảng cách từ M đến (P) được tính theo công thức:

d(M, (P)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

4. Ứng dụng của lý thuyết khoảng cách

Lý thuyết khoảng cách có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học không gian, ví dụ:

• Xác định vị trí tương đối của các đối tượng hình học.
• Tính thể tích của các hình đa diện.
• Giải các bài toán tối ưu hóa.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm A(1, 2, 3) đến đường thẳng d: { x = 2 + t y = 1 - t z = 3 + 2t }

Giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta có:

d(A, d) = √[((1 - 2)(-1) - (2 - 1)(1))² + ((1 - 2)(2) - (3 - 3)(1))² + ((2 - 1)(2) - (3 - 3)(-1))²] / √(1² + (-1)² + 2²)

d(A, d) = √[(-1 - 1)² + (-2 - 0)² + (2 - 0)²] / √6

d(A, d) = √(4 + 4 + 4) / √6 = √12 / √6 = √2

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm B(0, 0, 0) đến mặt phẳng (P): 2x - y + 3z - 5 = 0

Giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta có:

d(B, (P)) = |2(0) - (0) + 3(0) - 5| / √(2² + (-1)² + 3²)

d(B, (P)) = |-5| / √14 = 5 / √14 = (5√14) / 14

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững lý thuyết khoảng cách, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Giaibaitoan.com cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng và phong phú, giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán một cách hiệu quả. Hãy truy cập giaibaitoan.com để bắt đầu hành trình chinh phục môn Toán của bạn!

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Lý thuyết Khoảng cách - Toán 11 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!