Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, các tính chất liên quan và ứng dụng của lý thuyết này trong việc giải các bài toán hình học không gian.
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Đường thẳng \(\Delta \) được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu \(\Delta \) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
Chú ý: Khi \(\Delta \) vuông góc với (P), ta còn nói (P) vuông góc với \(\Delta \) hoặc \(\Delta \) và (P) vuông góc với nhau, kí hiệu \(\Delta \bot \left( P \right)\).
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
3. Tính chất
- Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Nhận xét: Nếu ba đường thẳng đôi một phân biệt a, b, c cùng đi qua một điểm O và cùng vuông góc với một đường thẳng \(\Delta \) thì ba đường thẳng đó cùng nằm trong mặt phẳng đi qua O và vuông góc với \(\Delta \).
Chú ý: Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B.
- Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
- Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) thì a vuông góc với (Q).
- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- Nếu đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng (P) thì \(\Delta \) cũng vuông góc với các mặt phẳng song song với (P).
- Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- Nếu đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng (P) thì \(\Delta \) vuông góc với mọi đường thẳng song song với (P).
- Nếu đường thẳng a và mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một đường thẳng \(\Delta \) thì a nằm trong (P) hoặc song song với (P).
Trong chương trình Hình học không gian lớp 11, chủ đề về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đóng vai trò then chốt. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải bài tập liên quan là vô cùng quan trọng để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Điều này có nghĩa là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng 90 độ.
Có hai điều kiện chính để xác định một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng:
Nếu một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì:
Vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng là một vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng đó. Nếu một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì vectơ chỉ phương của d chính là vectơ pháp tuyến của (P).
Lý thuyết về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học không gian, chẳng hạn như:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).
Giải: Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 90 độ.
Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, AA' = c. Tính góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABCD).
Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó, AC' vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Do đó, góc giữa AC' và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa AC' và AO, tức là góc C'AO. Ta có tan(C'AO) = AA'/AO = c/√(a2 + b2)/2. Từ đó suy ra góc C'AO.
Lý thuyết về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là một phần quan trọng của chương trình Hình học không gian lớp 11. Việc nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan. Chúc bạn học tốt!
