Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

Đạo hàm là một khái niệm nền tảng trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Bài 31 trong sách giáo khoa Toán 11 - Kết nối tri thức tập 2 giới thiệu định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm, mở đầu cho chương trình học về đạo hàm.

1. Định nghĩa đạo hàm

Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀. Nếu giới hạn

lim_{Δx → 0}(f(x₀ + Δx) - f(x₀)) / Δx

tồn tại và hữu hạn, ta gọi giới hạn đó là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀, ký hiệu là f'(x₀).

f'(x₀) = lim_{Δx → 0}(f(x₀ + Δx) - f(x₀)) / Δx

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x, ký hiệu là f'(x), được định nghĩa tương tự:

f'(x) = lim_{h → 0}(f(x + h) - f(x)) / h

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm f'(x₀) của hàm số f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm (x₀; f(x₀)).

Điều này có nghĩa là, đạo hàm cho ta biết độ dốc của đường cong tại một điểm cụ thể. Nếu f'(x₀) > 0, tiếp tuyến có độ dốc dương, hàm số đồng biến tại x₀. Nếu f'(x₀) < 0, tiếp tuyến có độ dốc âm, hàm số nghịch biến tại x₀. Nếu f'(x₀) = 0, tiếp tuyến là đường thẳng ngang, x₀ có thể là điểm cực trị của hàm số.

3. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Trong vật lý, đạo hàm thường được sử dụng để biểu diễn vận tốc và gia tốc. Ví dụ, nếu s(t) là hàm biểu diễn quãng đường đi được của một vật tại thời điểm t, thì đạo hàm s'(t) biểu diễn vận tốc của vật tại thời điểm t. Đạo hàm của vận tốc, v'(t), biểu diễn gia tốc của vật tại thời điểm t.

4. Các quy tắc tính đạo hàm cơ bản

Để tính đạo hàm một cách nhanh chóng và hiệu quả, ta cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm cơ bản:

• Đạo hàm của hằng số: (c)' = 0
• Đạo hàm của hàm số mũ: (xⁿ)' = nx^n-1
• Đạo hàm của hàm số lượng giác: (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x
• Đạo hàm của tổng và hiệu: (u ± v)' = u' ± v'
• Đạo hàm của tích: (uv)' = u'v + uv'
• Đạo hàm của thương: (u/v)' = (u'v - uv') / v²

5. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm, các em có thể thực hành giải các bài tập sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x - 1 tại điểm x = 1.
2. Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = sin(2x).
3. Cho hàm số y = x³ - 3x + 2. Tìm các điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với trục hoành.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm. Chúc các em học tập tốt!