Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc

Bài 22 trong chương VII của sách Toán 11 - Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào một trong những khái niệm quan trọng nhất của hình học không gian: hai đường thẳng vuông góc. Hiểu rõ về điều kiện và các tính chất của hai đường thẳng vuông góc là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.

1. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Trong không gian, hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90 độ. Để xác định hai đường thẳng vuông góc, ta thường sử dụng vector chỉ phương của chúng. Cụ thể:

Hai đường thẳng a và b vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vector chỉ phương của chúng bằng 0: u_a . u_b = 0

Điều này có nghĩa là hai vector chỉ phương này phải vuông góc với nhau.

2. Các định lý liên quan đến hai đường thẳng vuông góc

Có một số định lý quan trọng liên quan đến hai đường thẳng vuông góc:

Nếu một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia.

Những định lý này đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh các mối quan hệ vuông góc trong không gian.

3. Ứng dụng của kiến thức về hai đường thẳng vuông góc

Kiến thức về hai đường thẳng vuông góc được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến:

Tính góc giữa hai đường thẳng.
Chứng minh tính vuông góc của các đường thẳng.
Xác định hình chiếu của một đường thẳng lên một mặt phẳng.
Giải các bài toán về khoảng cách trong không gian.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ có vector chỉ phương lần lượt là u₁ = (1; 2; -1) và u₂ = (2; -1; 1). Chứng minh rằng hai đường thẳng này vuông góc.

Giải: Ta tính tích vô hướng của hai vector chỉ phương:

u₁ . u₂ = (1)(2) + (2)(-1) + (-1)(1) = 2 - 2 - 1 = -1

Vì u₁ . u₂ ≠ 0 nên hai đường thẳng d₁ và d₂ không vuông góc.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng SA vuông góc với BC.

Giải: Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Mà BC nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với BC.

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về hai đường thẳng vuông góc, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình tham số...
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A và B...
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD...

6. Kết luận

Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11 - Kết nối tri thức. Việc nắm vững kiến thức về điều kiện, định lý và ứng dụng của hai đường thẳng vuông góc sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.