Bài 30. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập - Giải Toán 11 Kết nối tri thức

Trong chương trình Toán 11, phần xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc ứng dụng vào thực tế. Bài 30 tập trung vào một công cụ mạnh mẽ để tính xác suất của các sự kiện phức tạp: công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.

1. Khái niệm biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Nói cách khác, P(B|A) = P(B) và P(A|B) = P(A). Đây là nền tảng để hiểu và áp dụng công thức nhân xác suất.

2. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Nếu A và B là hai biến cố độc lập, thì xác suất của biến cố A và B cùng xảy ra được tính bằng:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Công thức này cho phép chúng ta tính xác suất của một sự kiện phức tạp bằng cách nhân xác suất của các sự kiện thành phần độc lập.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc sáu mặt hai lần. Tính xác suất để mặt xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số chẵn và mặt xuất hiện ở lần gieo thứ hai là số lẻ.

Gọi A là biến cố “mặt xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số chẵn” và B là biến cố “mặt xuất hiện ở lần gieo thứ hai là số lẻ”.

• P(A) = 3/6 = 1/2 (các mặt chẵn là 2, 4, 6)
• P(B) = 3/6 = 1/2 (các mặt lẻ là 1, 3, 5)

Vì hai lần gieo xúc xắc là độc lập, nên:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = (1/2) * (1/2) = 1/4

Ví dụ 2: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Gọi A là biến cố “quả bóng thứ nhất lấy được là màu đỏ” và B là biến cố “quả bóng thứ hai lấy được là màu đỏ”.

• P(A) = 5/8 (có 5 quả bóng đỏ trên tổng số 8 quả bóng)
• P(B|A) = 4/7 (sau khi lấy một quả bóng đỏ, còn lại 4 quả bóng đỏ trên tổng số 7 quả bóng)

Tuy nhiên, trong trường hợp này, hai biến cố không độc lập vì việc lấy quả bóng thứ nhất ảnh hưởng đến xác suất lấy quả bóng thứ hai. Do đó, ta cần sử dụng công thức xác suất có điều kiện: P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 5/14

4. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

1. Một đồng xu được tung hai lần. Tính xác suất để cả hai lần đều xuất hiện mặt sấp.
2. Một hộp chứa 4 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng. Sau đó, trả lại quả bóng vào hộp và lấy tiếp một quả bóng nữa. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đen.
3. Một người bắn súng có xác suất bắn trúng mục tiêu là 0.8. Người đó bắn ba phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng mục tiêu cả ba lần.

5. Lưu ý quan trọng

Việc xác định hai biến cố có độc lập hay không là rất quan trọng để áp dụng đúng công thức nhân xác suất. Nếu hai biến cố không độc lập, ta cần sử dụng công thức xác suất có điều kiện.

6. Kết luận

Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập là một công cụ hữu ích để tính xác suất của các sự kiện phức tạp. Việc nắm vững khái niệm biến cố độc lập và công thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán xác suất một cách hiệu quả.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!