Lý thuyết Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập - Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập - Toán 11 Kết nối tri thức

Trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức, phần xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Một trong những kiến thức cơ bản và thường xuyên xuất hiện trong các bài tập là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết này, cung cấp các định nghĩa, công thức, ví dụ minh họa và bài tập để bạn có thể nắm vững kiến thức.

1. Biến cố độc lập

Trước khi đi vào công thức nhân xác suất, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm biến cố độc lập. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại.

Định nghĩa chính thức: Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi: P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Trong đó:

• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố A và B đồng thời xảy ra.
• P(A) là xác suất của biến cố A.
• P(B) là xác suất của biến cố B.

2. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Như đã đề cập ở trên, công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập là:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Công thức này cho phép chúng ta tính xác suất của việc cả hai biến cố A và B cùng xảy ra, chỉ cần biết xác suất của từng biến cố riêng lẻ.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc sáu mặt hai lần. Tính xác suất để mặt xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số chẵn và mặt xuất hiện ở lần gieo thứ hai là số lẻ.

Giải:

• Gọi A là biến cố “mặt xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số chẵn”. P(A) = 3/6 = 1/2
• Gọi B là biến cố “mặt xuất hiện ở lần gieo thứ hai là số lẻ”. P(B) = 3/6 = 1/2
• Vì kết quả của lần gieo thứ nhất không ảnh hưởng đến kết quả của lần gieo thứ hai, nên A và B là hai biến cố độc lập.
• Xác suất để cả hai biến cố A và B cùng xảy ra là: P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = (1/2) * (1/2) = 1/4

Ví dụ 2: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

• Gọi A là biến cố “quả bóng thứ nhất lấy được là màu đỏ”. P(A) = 5/8
• Gọi B là biến cố “quả bóng thứ hai lấy được là màu đỏ”. P(B|A) = 4/7 (xác suất có điều kiện, vì sau khi lấy một quả bóng đỏ, số lượng bóng đỏ còn lại là 4 và tổng số bóng còn lại là 7).
• Tuy nhiên, để sử dụng công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, chúng ta cần lấy bóng có hoàn lại. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ sử dụng xác suất có điều kiện.
• P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14

4. Bài tập áp dụng

1. Một đồng xu được gieo ba lần. Tính xác suất để cả ba lần đều xuất hiện mặt sấp.
2. Hai người độc lập nhau bắn vào một mục tiêu. Người thứ nhất có xác suất bắn trúng là 0.8, người thứ hai có xác suất bắn trúng là 0.7. Tính xác suất để cả hai người đều bắn trúng mục tiêu.
3. Một hộp chứa 4 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đen.

5. Lưu ý quan trọng

Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập chỉ áp dụng khi hai biến cố đó thực sự độc lập với nhau. Nếu hai biến cố có mối liên hệ với nhau (ví dụ: biến cố có điều kiện), chúng ta cần sử dụng công thức nhân xác suất tổng quát hơn.

Việc nắm vững lý thuyết và thực hành giải các bài tập liên quan đến công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập là rất quan trọng để bạn có thể áp dụng kiến thức vào các bài toán thực tế và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.