Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Trong chương trình Toán 11, phần xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Bài 28 tập trung vào ba khái niệm cơ bản: biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập. Việc nắm vững các khái niệm này là điều kiện cần thiết để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp hơn.

1. Biến cố hợp

Biến cố hợp của hai biến cố A và B (ký hiệu A ∪ B) là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Nói cách khác, A ∪ B xảy ra nếu A xảy ra, B xảy ra, hoặc cả A và B cùng xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố hợp:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

P(A ∪ B): Xác suất của biến cố hợp A ∪ B
P(A): Xác suất của biến cố A
P(B): Xác suất của biến cố B
P(A ∩ B): Xác suất của biến cố giao A ∩ B

2. Biến cố giao

Biến cố giao của hai biến cố A và B (ký hiệu A ∩ B) là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. Để biến cố giao xảy ra, cả A và B đều phải đồng thời xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố giao (khi A và B độc lập):

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

3. Biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Nói cách khác, việc biết A đã xảy ra (hoặc chưa xảy ra) không làm thay đổi xác suất của B.

Điều kiện để hai biến cố A và B độc lập:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Ví dụ minh họa

Xét một hộp chứa 5 quả bóng, trong đó có 3 quả bóng đỏ và 2 quả bóng xanh. Chúng ta lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp mà không hoàn lại.

Gọi A là biến cố “quả bóng thứ nhất lấy được là màu đỏ”.

Gọi B là biến cố “quả bóng thứ hai lấy được là màu đỏ”.

Tính P(A ∩ B) và xác định xem A và B có độc lập hay không.

Giải:

P(A) = 3/5

P(B|A) = 2/4 = 1/2 (xác suất quả bóng thứ hai đỏ, biết quả bóng thứ nhất đỏ)

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (3/5) * (1/2) = 3/10

Vì P(A ∩ B) ≠ P(A) * P(B) (P(B) = 3/5), nên A và B không độc lập.

Bài tập áp dụng

Một đồng xu được tung hai lần. Tính xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp.
Hai người độc lập nhau bắn vào một mục tiêu. Người thứ nhất có xác suất bắn trúng là 0.6, người thứ hai có xác suất bắn trúng là 0.7. Tính xác suất để cả hai người đều bắn trúng mục tiêu.
Trong một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 10 học sinh giỏi Toán và 8 học sinh giỏi Văn. Có 5 học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Tính xác suất để học sinh đó giỏi Toán hoặc giỏi Văn.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, các em đã hiểu rõ hơn về biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng thành thạo vào giải các bài toán thực tế.