Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Đây là một phần kiến thức quan trọng trong chương xác suất, giúp bạn hiểu rõ hơn về các khái niệm cơ bản và ứng dụng của chúng trong thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, dễ hiểu, cùng với các bài tập thực hành đa dạng để bạn có thể tự tin chinh phục môn Toán.
1. Biến cố hợp
1. Biến cố hợp
Cho A và B là hai biến cố. Biến cố: “A hoặc B xảy ra” được gọi là biến cố hợp của A và B, kí hiệu là \(A \cup B\).
Biến cố hợp của A và B là tập con \(A \cup B\) của không gian mẫu \(\Omega \).
2. Biến cố giao
Cho A và B là hai biến cố. Biến cố: “Cả A và B đều xảy ra” được gọi là biến cố giao của A và B, kí hiệu là AB.
Biến cố giao của A và B là tập con \(A \cap B\) của không gian mẫu \(\Omega \).
3. Biến cố độc lập
Cặp biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
Chú ý: Nếu cặp biến cố A và B độc lập thì các cặp biến cố: A và \(\overline B \); \(\overline A \) và B; \(\overline A \) và \(\overline B \) cũng độc lập.
Trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức, phần xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về việc đánh giá khả năng xảy ra của một sự kiện. Một trong những nội dung cốt lõi của phần này là lý thuyết về biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn chi tiết về các khái niệm này, cùng với các ví dụ minh họa để giúp bạn hiểu rõ hơn.
Biến cố hợp của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∪ B, là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Nói cách khác, A ∪ B xảy ra nếu A xảy ra, B xảy ra, hoặc cả A và B đều xảy ra.
Công thức tính xác suất của biến cố hợp:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Trong đó:
Ví dụ: Gieo một con xúc xắc sáu mặt. A là biến cố “mặt xúc xắc ra số chẵn”, B là biến cố “mặt xúc xắc ra số lớn hơn 4”. Khi đó, A ∪ B là biến cố “mặt xúc xắc ra số chẵn hoặc số lớn hơn 4”.
Biến cố giao của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∩ B, là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B đều xảy ra đồng thời.
Công thức tính xác suất của biến cố giao:
Nếu A và B là hai biến cố độc lập, thì P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
Nếu A và B không độc lập, thì P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)
Trong đó:
Ví dụ: Gieo một con xúc xắc sáu mặt. A là biến cố “mặt xúc xắc ra số chẵn”, B là biến cố “mặt xúc xắc ra số lớn hơn 4”. Khi đó, A ∩ B là biến cố “mặt xúc xắc ra số chẵn và số lớn hơn 4”, tức là mặt xúc xắc ra số 6.
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại.
Điều kiện để hai biến cố A và B độc lập:
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
Ví dụ: Gieo một đồng xu và gieo một con xúc xắc. Biến cố A là “đồng xu ra mặt ngửa”, biến cố B là “xúc xắc ra số 5”. Việc đồng xu ra mặt ngửa không ảnh hưởng đến xác suất xúc xắc ra số 5, và ngược lại. Do đó, A và B là hai biến cố độc lập.
Bài tập 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.
Giải:
Gọi A là biến cố “quả bóng thứ nhất lấy ra màu đỏ”, B là biến cố “quả bóng thứ hai lấy ra màu đỏ”.
P(A) = 5/8
P(B|A) = 4/7 (vì sau khi lấy 1 quả bóng đỏ, còn lại 4 quả bóng đỏ và 7 quả bóng tổng cộng)
P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14
Lý thuyết biến cố có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống, như:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
