Bài 33. Đạo hàm cấp hai

Bài 33. Đạo hàm cấp hai - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết và đầy đủ

Bài 33 thuộc chương IX: Đạo hàm, chương này đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng kiến thức về giải tích cho học sinh lớp 11. Đạo hàm cấp hai là một khái niệm mở rộng từ đạo hàm cấp một, cho phép chúng ta nghiên cứu sự thay đổi của tốc độ thay đổi của một hàm số. Điều này có ý nghĩa lớn trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

1. Khái niệm đạo hàm cấp hai

Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại một điểm x₀, tức là f'(x₀) tồn tại, và đạo hàm f'(x) có đạo hàm tại x₀, thì đạo hàm của f'(x) tại x₀ được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x) tại x₀, ký hiệu là f''(x₀).

Công thức tính đạo hàm cấp hai:

f''(x) = (f'(x))'

2. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai cho biết tốc độ thay đổi của đạo hàm cấp một. Trong bối cảnh vật lý, nếu f(x) biểu diễn vị trí của một vật thể theo thời gian, thì f'(x) biểu diễn vận tốc, và f''(x) biểu diễn gia tốc.

Trong toán học, đạo hàm cấp hai được sử dụng để xác định tính lồi, lõm của đồ thị hàm số. Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó. Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.

3. Các quy tắc tính đạo hàm cấp hai

Để tính đạo hàm cấp hai, chúng ta có thể áp dụng các quy tắc tính đạo hàm cấp một một cách tuần tự. Ví dụ:

Quy tắc đạo hàm của tổng/hiệu: (u ± v)'' = u'' ± v''
Quy tắc đạo hàm của tích: (uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''
Quy tắc đạo hàm của thương: (u/v)'' = (u''v - 2u'v' + uv'') / v²
Quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (f(g(x)))'' = f''(g(x)) * g'(x) + f'(g(x)) * g''(x)

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1

f'(x) = 3x² + 4x - 5

f''(x) = 6x + 4

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = sin(x)

f'(x) = cos(x)

f''(x) = -sin(x)

5. Bài tập áp dụng

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x⁴ - 3x² + 2
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = e^x + ln(x)
Tìm khoảng mà hàm số f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1 lồi và lõm.

6. Kết luận

Bài 33 đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về đạo hàm cấp hai, cách tính và ý nghĩa của nó. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình Toán 11 và các chương trình nâng cao sau này. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của bạn.

giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục tri thức. Chúc bạn học tập tốt!