Bài 9.16 trang 96 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học Toán 11 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hàm số (fleft( x right) = 2{sin ^2}left( {x + frac{pi }{4}} right).)
Đề bài
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\) Chứng minh rằng \(\left| {f''\left( x \right)} \right| \le 4\) với mọi x.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại mỗi điểm \(x \in \left( {a;b} \right).\) Nếu hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của \(y'\) là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại x, kí hiệu là \(y''\) hoặc \(f''\left( x \right).\)
Lời giải chi tiết
Ta có \(f'\left( x \right) = 2.2\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).{\left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^,} = 4\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Rightarrow f''\left( x \right) = 2.2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = 4\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\)
Mặt khác \( - 1 \le \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 4 \le f''\left( x \right) \le 4\)
Vậy \(\left| {f''\left( x \right)} \right| \le 4\) với mọi x.
Bài 9.16 SGK Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức yêu cầu chúng ta tìm đạo hàm của hàm số và sử dụng đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến tốc độ thay đổi của một đại lượng nào đó. Để giải bài này, chúng ta cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm cơ bản, bao gồm đạo hàm của hàm số đa thức, hàm số lượng giác, và các quy tắc như quy tắc tích, quy tắc thương, và quy tắc chuỗi.
Trước khi bắt đầu giải bài, chúng ta cần đọc kỹ đề bài để hiểu rõ yêu cầu. Đề bài thường cho một hàm số biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng và yêu cầu chúng ta tìm đạo hàm của hàm số đó tại một điểm cụ thể hoặc trong một khoảng nào đó. Việc hiểu rõ yêu cầu của đề bài là rất quan trọng để chúng ta có thể chọn phương pháp giải phù hợp.
Sau khi đã hiểu rõ yêu cầu của đề bài, chúng ta có thể bắt đầu áp dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số. Ví dụ, nếu hàm số là một hàm đa thức, chúng ta có thể sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm đa thức để tính đạo hàm. Nếu hàm số là một hàm hợp, chúng ta có thể sử dụng quy tắc chuỗi để tính đạo hàm.
Giả sử chúng ta có hàm số f(x) = x2 + 2x + 1. Để tìm đạo hàm của hàm số này, chúng ta có thể sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm đa thức:
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) = x2 + 2x + 1 là f'(x) = 2x + 2.
Khi tính đạo hàm, chúng ta cần chú ý đến các quy tắc dấu và các trường hợp đặc biệt. Ví dụ, đạo hàm của một hằng số là 0, đạo hàm của x là 1, và đạo hàm của sin(x) là cos(x). Ngoài ra, chúng ta cũng cần chú ý đến các trường hợp hàm số không xác định tại một điểm nào đó, vì đạo hàm không tồn tại tại điểm đó.
Để củng cố kiến thức về đạo hàm, chúng ta có thể giải thêm một số bài tập tương tự. Ví dụ:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Bài 9.16 trang 96 SGK Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp chúng ta hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong thực tế. Bằng cách nắm vững các quy tắc tính đạo hàm và luyện tập thường xuyên, chúng ta có thể tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm.
Hy vọng với lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa trên, các em học sinh có thể hiểu rõ hơn về Bài 9.16 trang 96 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức và áp dụng kiến thức này vào việc giải các bài tập khác.
