Giải Bài 4.14 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Bài 4.14 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Bài 4.14 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương 1: Vectơ trong mặt phẳng. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và các ứng dụng thực tế.

Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và P là một điểm thuộc cạnh AC. a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD) b) Chứng minh rằng d song song với BD

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và P là một điểm thuộc cạnh AC.

a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD)

b) Chứng minh rằng d song song với BD

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 4.14 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức 1

Để xác định giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng, ta có thể tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.

Lời giải chi tiết

Bài 4.14 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức 2

a) Gọi giao điểm của AM và BP là I, giao điểm của AN và DP là K.

Ta có IK đều thuộc mặt phẳng (AMN) và (BPD) suy ra IK là giao tuyến của hai mặt phẳng này.

Như vậy, d là đường thẳng đi qua I và K.

b) Ta có: \(mp\left( {AMN} \right) \cap mp\left( {BPD} \right) = IK\).

\(mp\left( {AMN} \right) \cap mp\left( {BCD} \right) = MN\) \(\;\).

\(mp\left( {BPD} \right) \cap mp\left( {BCD} \right) = BD\).

Mà MN // BD (do MN là đường trung bình của tam giác BCD) suy ra IK // BD.

Như vây, d song song với BD.

Chinh phục đỉnh cao Toán 11 và đặt nền móng vững chắc cho cánh cửa Đại học với nội dung Bài 4.14 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức trong chuyên mục toán 11 trên nền tảng soạn toán! Bộ bài tập toán thpt, được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Bài 4.14 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết

Bài 4.14 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức yêu cầu chúng ta giải quyết một bài toán liên quan đến ứng dụng của tích vô hướng trong hình học. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ:a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.
Công thức tính cosin góc giữa hai vectơ:cos(θ) = (a.b) / (|a||b|)
Ứng dụng của tích vô hướng để chứng minh tính vuông góc: Hai vectơ a và b vuông góc khi và chỉ khi a.b = 0.

Nội dung bài toán (giả định): (Do đề bài gốc không cung cấp nội dung cụ thể, chúng ta sẽ giả định một bài toán minh họa. Bài toán thực tế sẽ được giải tương tự với các dữ kiện cụ thể.)

Cho tam giác ABC có A(1;2), B(3;4), C(-1;0). Tính góc BAC.

Lời giải:

Tìm vectơ AB và AC:AB = B - A = (3-1; 4-2) = (2; 2)AC = C - A = (-1-1; 0-2) = (-2; -2)
Tính tích vô hướng của AB và AC:AB.AC = (2)(-2) + (2)(-2) = -4 - 4 = -8
Tính độ dài của AB và AC:|AB| = √(2² + 2²) = √8 = 2√2|AC| = √((-2)² + (-2)²) = √8 = 2√2
Tính cosin góc BAC:cos(BAC) = (AB.AC) / (|AB||AC|) = -8 / (2√2 * 2√2) = -8 / 8 = -1
Suy ra góc BAC:Vì cos(BAC) = -1 nên BAC = 180°. Điều này có nghĩa là ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Kết luận: Góc BAC bằng 180 độ, tức là ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Các dạng bài tập tương tự và phương pháp giải

Ngoài bài toán tính góc, tích vô hướng còn được ứng dụng trong nhiều dạng bài tập khác như:

Chứng minh hai vectơ vuông góc: Sử dụng điều kiện a.b = 0.
Tính độ dài của vectơ: Sử dụng công thức |a| = √(a.a).
Tìm điều kiện để ba điểm thẳng hàng: Sử dụng điều kiện hai vectơ tạo bởi ba điểm cùng phương (tức là có cùng hướng hoặc ngược hướng).

Để giải các bài tập này, các em cần:

Nắm vững định nghĩa và các tính chất của tích vô hướng.
Biết cách tính tích vô hướng của hai vectơ.
Vận dụng các công thức liên quan đến tích vô hướng để giải quyết bài toán.
Rèn luyện kỹ năng giải bài tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng.

Lưu ý: Khi giải bài tập, các em cần chú ý đến việc lựa chọn hệ tọa độ phù hợp để đơn giản hóa bài toán. Ngoài ra, các em cũng nên kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 4.14 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức và có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự.