Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Hàm số liên tục trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức tại giaibaitoan.com. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về hàm số liên tục, giúp bạn giải quyết các bài tập một cách hiệu quả.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, điều kiện liên tục của hàm số, các tính chất của hàm số liên tục và ứng dụng của chúng trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm
Cho hàm \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)chứa điểm \({x_0}\). Hàm số \(f(x)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).
Hàm số không liên tục tại \({x_0}\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng
- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\).
*Nhận xét:
- Hàm số đa thức và hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},y = c{\rm{osx}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
- Các hàm số \(y = \tan {\rm{x}},y = c{\rm{otx,}}y = \sqrt x \) và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.
3. Một số tính chất cơ bản
Giả sử hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó:
a, Các hàm số \(y = f(x) \pm g(x)\) và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).
b, Hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục tại điểm \({x_0}\)nếu \(g({x_0}) \ne 0\).
Hàm số liên tục là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích. Nó đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu tính chất của hàm số, giải phương trình và bất phương trình, và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.
Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:
Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Hàm số f(x) được gọi là liên tục theo từng đoạn trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên mỗi đoạn con [a; c1], [c1; c2], ..., [cn-1; b], với a = c0 < c1 < c2 < ... < cn-1 < b.
Hàm số liên tục có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:
Xét hàm số f(x) = x2 + 1. Hàm số này là một hàm đa thức, do đó nó liên tục trên toàn bộ tập số thực. Điều này có nghĩa là nó liên tục tại mọi điểm x0 thuộc tập số thực.
Hãy xét hàm số f(x) = 1/x. Hàm số này liên tục trên khoảng nào? Tại sao?
Lý thuyết hàm số liên tục là một phần quan trọng của chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và ứng dụng của hàm số liên tục sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và hiểu sâu hơn về giải tích.
| Khái niệm | Định nghĩa |
|---|---|
| Hàm số liên tục tại x0 | Thỏa mãn 3 điều kiện: f(x0) xác định, limx→x0 f(x) tồn tại, limx→x0 f(x) = f(x0) |
| Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) | Liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) |
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết hàm số liên tục. Hãy luyện tập thêm các bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của bạn.
