Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương 1: Vectơ trong mặt phẳng. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và các ứng dụng thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tính các giới hạn sau: a) (mathop {{rm{lim}}}limits_{x to + infty } frac{{1 - 2x}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}) b) (mathop {{rm{lim}}}limits_{x to + infty } left( {sqrt {{x^2} + x + 2} - x} right))
Đề bài
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
b) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right)\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\) với \(n\) là số mũ lớn nhất.
b) Nhân với biểu thức liên hợp \((\sqrt A + B).(\sqrt A - B) = A - {B^2}\).
Lời giải chi tiết
Vì \(x \to + \infty \) nên \(x > 0\), suy ra \(\left| x \right| = x\).
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}}{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{1}{x} - 2}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \frac{{0 - 2}}{{\sqrt {1 + 0} }} = - 2\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {{x^2} + x + 2} \right) - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} + x}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{x\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{x\left[ {\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1} \right]}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1}} = \frac{{1 + 0}}{{\sqrt {1 + 0 + 0} + 1}} = \frac{1}{2}\).
Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc ứng dụng kiến thức về tích vô hướng để giải quyết các bài toán hình học. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Cho hai vectơ a và b khác vectơ không. Chứng minh rằng:
|a + b| ≤ |a| + |b|
|a - b| ≥ ||a|| - ||b||
Để chứng minh hai bất đẳng thức trên, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tích vô hướng và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Ta có:
(|a + b|)² = (a + b) . (a + b) = |a|² + 2a . b + |b|²
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: a . b ≤ |a||b|
Do đó, (|a + b|)² ≤ |a|² + 2|a||b| + |b|² = (|a| + |b|)²
Lấy căn bậc hai cả hai vế, ta được: |a + b| ≤ |a| + |b|
Ta có:
(|a - b|)² = (a - b) . (a - b) = |a|² - 2a . b + |b|²
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: a . b ≤ |a||b|
Do đó, (|a - b|)² ≥ |a|² - 2|a||b| + |b|² = (|a| - |b|)²
Lấy căn bậc hai cả hai vế, ta được: |a - b| ≥ ||a|| - ||b||
Bài tập này giúp học sinh hiểu sâu hơn về tính chất của tích vô hướng và các ứng dụng của nó trong việc chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến độ dài vectơ. Đây là kiến thức nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học phức tạp hơn trong chương trình học.
Nắm vững định nghĩa và tính chất của tích vô hướng.
Hiểu rõ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và cách áp dụng nó vào giải toán.
Thực hành giải nhiều bài tập tương tự để củng cố kiến thức.
Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ và tự tin giải Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tốt!
