Bài 7.25 trang 59 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học Toán 11 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a.
Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (D'AC) và (BC'A') song song với nhau và DB' vuông góc với hai mặt phẳng đó.
b) Xác định các giao điểm E, F của DB' với (D'AC),(BC'A'). Tính d((D'AC), (BC'A')).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Hai mặt phẳng song song nếu 2 đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng này lần lượt song song với 2 đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng kia.
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Lời giải chi tiết
a) AC // A’C’, D’C // A’B \( \Rightarrow \) (D'AC) // (BC'A')
Ta có \(AC \bot BD,AC \bot BB' \Rightarrow AC \bot \left( {BDB'} \right);B'D \subset \left( {BDB'} \right) \Rightarrow AC \bot B'D\)
Mà AC // A’C’ \( \Rightarrow \) \(B'D \bot A'C'\)
Ta có \(AB' \bot A'B,AD \bot A'B \Rightarrow A'B \bot \left( {AB'D} \right);B'D \subset \left( {AB'D} \right) \Rightarrow A'B \bot B'D\)
Mà A’B // D’C \( \Rightarrow \) \(B'D \bot D'C\)
Ta có \(B'D \bot AC,B'D \bot D'C \Rightarrow B'D \bot \left( {D'AC} \right)\)
\(B'D \bot A'C',B'D \bot A'B \Rightarrow B'D \bot \left( {BA'C'} \right)\)
b) Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\},A'C' \cap B'D' = \left\{ {O'} \right\}\)
Trong (BB’D’D) nối \(D'O \cap B'D = \left\{ E \right\},BO' \cap B'D = \left\{ F \right\}\)
Vì (D'AC) // (BC'A') nên d((D'AC), (BC'A')) = d(E, (BC'A')) = EF do \(B'D \bot \left( {BA'C'} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}B'D \bot BO'\left( {B'D \bot \left( {BA'C'} \right)} \right)\\B'D \bot OD'\left( {B'D \bot \left( {D'AC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BO'//OD'\)
Áp dụng định lí Talet có \(\frac{{DE}}{{EF}} = \frac{{DO}}{{BO}} = 1 \Rightarrow DE = EF\) và \(\frac{{B'F}}{{EF}} = \frac{{B'O'}}{{O'D'}} = 1 \Rightarrow B'F = EF\)
\( \Rightarrow EF = \frac{{B'D}}{3}\)
Xét tam giác ABD vuông tại A có \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
Xét tam giác BB’D vuông tại B có \(B'D = \sqrt {B{{B'}^2} + B{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = a\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow EF = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Vậy \(d\left( {\left( {D'AC} \right),{\rm{ }}\left( {BC'A'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Bài 7.25 trang 59 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi của đại lượng. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm và công thức về đạo hàm, bao gồm đạo hàm của hàm số, quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
Bài tập yêu cầu học sinh xét một tình huống thực tế, ví dụ như một vật thể chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian. Dựa vào thông tin về vận tốc, học sinh cần tính toán các đại lượng liên quan như quãng đường đi được, gia tốc, và thời điểm vật thể đạt vận tốc cực đại hoặc cực tiểu.
Giả sử một vật thể chuyển động với vận tốc v(t) = 3t2 - 6t + 2 (m/s). Hãy tính gia tốc của vật thể tại thời điểm t = 2 giây và quãng đường vật thể đi được trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 3 giây.
Giải:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn mở ra nhiều cơ hội ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của cuộc sống.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải Bài 7.25 trang 59 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức và các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!
