Cấp số nhân là một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Việc nắm vững lý thuyết và các công thức liên quan là điều kiện cần thiết để giải quyết các bài toán thực tế và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ và chi tiết về lý thuyết Cấp số nhân, giúp bạn dễ dàng tiếp thu và ứng dụng kiến thức.
1. Định nghĩa
1. Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng ngay trước nó với một số không đổi q.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi
\({u_n} = {u_{n - 1}}.q,n \in {\mathbb{N}^*}\)
* Chú ý: Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \({u_k}^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\left( {k \ge 2} \right)\).
2. Số hạng tổng quát
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định bởi công thức
\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\)
3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)với công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)
Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước nó với một số không đổi gọi là công bội. Dãy số (un) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho un+1 = q.un với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Để hiểu rõ về cấp số nhân, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:
Có một số dạng cấp số nhân đặc biệt cần lưu ý:
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (Sn) được tính theo công thức:
Sn = u1.(1 - qn) / (1 - q) (với q ≠ 1)
Nếu q = 1, thì Sn = n.u1
Bài tập 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 3. Tính số hạng thứ 5 và tổng của 5 số hạng đầu tiên.
Giải:
Bài tập 2: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân biết u1 = 5 và u3 = 45.
Giải:
Ta có u3 = u1.q2 => 45 = 5.q2 => q2 = 9 => q = ±3
Nếu q = 3, thì u10 = u1.q9 = 5.39 = 98415
Nếu q = -3, thì u10 = u1.q9 = 5.(-3)9 = -98415
Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Để nắm vững lý thuyết Cấp số nhân, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tham khảo các bài tập trong SGK Toán 11 Kết nối tri thức và các tài liệu tham khảo khác. Giaibaitoan.com cung cấp nhiều bài tập và lời giải chi tiết để bạn luyện tập và củng cố kiến thức.
Hy vọng với những kiến thức trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan về lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
