Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài 21 trong chương trình Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức đi sâu vào việc giải các phương trình và bất phương trình liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit. Đây là một chủ đề quan trọng, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các tính chất của hàm số mũ và lôgarit, cũng như các phương pháp giải phương trình, bất phương trình cơ bản.

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Phương trình mũ: Là phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Các phương pháp giải thường được sử dụng bao gồm:
• Đưa về cùng cơ số.
• Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.
• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ.
2. Bất phương trình mũ: Là bất phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Cách giải tương tự như phương trình mũ, nhưng cần chú ý đến chiều của bất đẳng thức khi lấy logarit hai vế.
3. Phương trình lôgarit: Là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức lôgarit. Các phương pháp giải thường được sử dụng bao gồm:
• Sử dụng định nghĩa của lôgarit.
• Sử dụng tính chất của lôgarit.
• Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.
4. Bất phương trình lôgarit: Là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức lôgarit. Cách giải tương tự như phương trình lôgarit, nhưng cần chú ý đến điều kiện xác định của lôgarit và chiều của bất đẳng thức khi lấy cơ số.

II. Các dạng bài tập thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình mũ cơ bản

Ví dụ: Giải phương trình 2^x = 8

Lời giải: Ta có 2^x = 2³, suy ra x = 3.

Dạng 2: Giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình 4^x - 5.2^x + 4 = 0

Lời giải: Đặt t = 2^x (t > 0). Phương trình trở thành t² - 5t + 4 = 0. Giải phương trình bậc hai này, ta được t = 1 hoặc t = 4. Với t = 1, ta có 2^x = 1, suy ra x = 0. Với t = 4, ta có 2^x = 4, suy ra x = 2.

Dạng 3: Giải phương trình lôgarit cơ bản

Ví dụ: Giải phương trình log₂(x + 1) = 3

Lời giải: Ta có x + 1 = 2³ = 8, suy ra x = 7.

Dạng 4: Giải phương trình lôgarit bằng phương pháp sử dụng tính chất của lôgarit

Ví dụ: Giải phương trình log₃(x) + log₃(x - 2) = 1

Lời giải: Sử dụng tính chất log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc), ta có log₃[x(x - 2)] = 1. Suy ra x(x - 2) = 3¹ = 3. Giải phương trình bậc hai x² - 2x - 3 = 0, ta được x = 3 hoặc x = -1. Vì điều kiện xác định của log₃(x) và log₃(x - 2) là x > 0 và x - 2 > 0, nên x > 2. Do đó, nghiệm duy nhất của phương trình là x = 3.

III. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

• Giải phương trình: 3^2x-1 = 27
• Giải phương trình: 2^x+2 - 4^x = 0
• Giải phương trình: log₅(2x - 1) = 2
• Giải phương trình: log₂(x) + log₂(x - 1) = 1

IV. Lưu ý quan trọng

Khi giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit, cần chú ý:

• Kiểm tra điều kiện xác định của phương trình và bất phương trình.
• Sử dụng đúng các tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
• Chú ý đến chiều của bất đẳng thức khi lấy logarit hai vế.

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập về phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit. Chúc bạn học tốt!